西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数概念.ppt

复变函数 定理四　1）在z0连续的两个函数的和、差、积、商(分母在z0不为零)在z0仍连续； 【判别函数是否连续的方法】 复变函数 例4 讨论 的连续性。 复变函数 本次课小结 一.本次课的内容要点 1.复平面上区域的概念和分类 2.复变函数的定义 3.复变函数的极限和连续 4.复变函数极限存在和连续性的判断 二.需要注意的事项 1.注意与实变量函数的区别和联系 2.学习方法上注意从几何上帮助理解 复变函数 第一章习题： 22(3,5,7,10) 24、25(2,4) 26(1,3)、31 作业 复变函数 工程数学（二） §4 区 域 §5 复变函数 第一章 复数与复变函数 §6 复变函数的极限和连续性 复变函数 课前复习 1.复数的概念 2.复数的代数运算 3.复数的几何表示 4.复数的乘幂与方根 复变函数 引子 函数(function)的定义 构成函数的两要素: 复变函数 §4 区 域 一.平面点集的几个基本概念 1.邻域 2.内点 复变函数 3.边界点 　 设G为点集，z0为平面中的一点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称点z0为G的边界点。 全部边界点称为G的边界 复变函数 4.区域 若平面点集G满足 ① G是开集； ② G是连通的； 则称G为区域 区域G加上它的边界C称为闭区域或闭域，记为 复变函数 5.有界，无界 如果区域G可以包含在一个以原点为中心的圆内，则称区域G是有界的，否则称区域G是无界的。 复变函数 　设x(t)及y(t)是两个在闭区间[α,β]上连续的实函数，则由方程组 所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。 二.单连通域与多连通域 1.连续曲线 复数表达式 参数表达式 复变函数 2.光滑曲线 设曲线C的参数方程为: 又在α≤t≤β上，x’(t)和y’(t)连续且 则C称为光滑曲线。 　 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。 复变函数 3.简单曲线 　 没有重点的连续曲线称为简单曲线，或约当曲线。 对于曲线C:z=z(t) 其中α≤t≤β， z(α)，z(β) 称为曲线的起点、终点； 复变函数 说明： 1.简单曲线自身不会相交； 2.简单闭曲线把整个复平面唯一的分成 三个互不相交的点集 复变函数 定义：设G为复平面上的区域，若在G内的任意简单闭曲线，其内部仍全含于G，则称G为单连通区域；非单连通的区域称为多连通区域 复变函数 说明： 1.简单闭曲线内部都是单连通域； 2.单连通区域与复连通区域的本质区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点； 连续变形：变形时不能通过不属于D的区域 复变函数 三.用复数表达式表示常见区域 1.单位圆内部 2.圆环域 3.带状区域 4.角形域 5.上半平面 6.左半平面 复变函数 §5 复变函数 定义　设在复平面上有点集D。若对于D内每一点z，按照某一法则，有确定的复数w与之对应，则称这种对应关系是z的复变函数，记作 w=f (z)；称w是z在函数f 下的像。 若z的一个值对应着w的一个值，则称f (z)为单值函数；若z的一个值对应着w的几个或无穷多个值，则称f (z)为多值函数。 一.复变函数的定义 复变函数 用z平面上的点表示自变量z的值；用w平面上的点表示函数w的值。函数w=f (z)在几何上可以看w作把z平面上的点集G变到w平面上的一个点集G*的映射，简称为由函数w=f (z)所构成的映射。 二.映射 【注】 2.一个复变函数对应着两个二元实变函数 1.复数集与复数集之间的对应关系 复变函数 在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域 函数值集合 o x y (z) o u v (w) G G* w=f(z) z w=f(z) w 复变函数 例1 —关于实轴对称的一个映射 o x y (z) u v (w) o 设函数 ; u=x , v=-y 复变函数 例2 设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy o x y (z) o u v (w) o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 x y O u v O z1 z2 w2 z3 w3 w1 复变函数 函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2 = c1 , 2xy = c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 . 10 1