西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 级数.ppt

复变函数 工程数学（二） 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 定理3 (根值法) 复变函数 工程数学（二） 例1 解 综上 复变函数 工程数学（二） 例2.求下列幂级数的收敛半径 复变函数 工程数学（二） 5. 幂级数的运算和性质 　代数运算　 ---幂级数的加、减运算 ---幂级数的乘法运算 复变函数 工程数学（二） ---幂级数的代换(复合)运算 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3 复变函数 工程数学（二） 解 代换 展开 还原 复变函数 工程数学（二） 【步骤】 复变函数 工程数学（二） 定理4 ---幂级数的逐项求导运算 ---幂级数的逐项积分运算 复变幂级数的性质 复变函数 工程数学（二） P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3) 复变函数 工程数学（二） 是收敛圆 内的解析函数。 定理三 设幂级数 的收敛半径为R，那么 1)它的和函数 ，即 2) 在收敛圆内的导数可以将其幂级数逐项求导得到，即 3) 在收敛圆内可以逐项积分，即 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 第 四 章 级 数 §4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 复变函数 工程数学（二） §1 复数项级数 一.复数列的极限 1.定义 此时也称复数列 收敛于 设 为一复数列，其中 =an+ibn，又设 =a+ib为一确定的复数，如果对于任意ε＞0，相应地能找到一个正数N(ε)，使当n＞N时 成立，则称 为复数列 当n→∞时的极限，记作 复变函数 工程数学（二） 2.复数列收敛的判别法 定理一.复数列 收敛于 的充要条件是 例1.下列数列是否收敛，若收敛，求极限 复变函数 工程数学（二） 设 为一复数列， 称为级数的部分和 称为无穷级数， 如果数列 收敛，那么称级数 收敛，并称极限 为级数的和。如果数列 不收敛，则称级数 发散。 二.复数项级数 1.定义 级数的敛散性与部分和数列的敛散性一致。 复变函数 工程数学（二） 2.级数的审敛法 定理二. 级数 收敛的充分必要条件是级数 和 都收敛。 复变函数 工程数学（二） 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题。 性质 定理3 复变函数 工程数学（二） 定理4 复变函数 工程数学（二） 实常数项级数审敛法 一.根据定义判断 二.正项级数审敛法 比较审敛法 发散 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 三.绝对收敛 莱布尼兹定理 复变函数 工程数学（二） 例1.判断下列级数是否收敛 复变函数 工程数学（二） 例2.判断下列级数是否收敛 复变函数 工程数学（二） 例3 解 练习： 复变函数 工程数学（二） §2 幂级数 定义 设复变函数列： ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和 　 复变函数 工程数学（二） 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 复变函数 工程数学（二） 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 复变函数 工程数学（二） 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数在复平面上处　处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数在复平面上除z=0外处处发散。 复变函数 工程数学（二） 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 播放 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii)幂级数的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.