西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 共形映射.ppt

复变函数 工程数学（二） 作业: P245 1 4 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 第六章 共 形 映 射 §1 共形映射概念 §2 分式线性映射 复变函数 工程数学（二） G* 复变函数及其导数的概念 1.复变函数的定义： 2.复变函数的几何意义—映射f:G?G* 定义　若对z平面上点集D内每一点z,按照某一法则,有w平面上确定的复数w与之对应,则称这种对应关系是z的复变函数，记作w=f (z)；称w是z在函数f 下的像。 o x y (z) G o u v (w) G w=f(z) z w=f(z) w 复变函数 工程数学（二） 3.复变函数w=f(z)在z0点处的导数： 问题：解析函数w=f(z)构成的映射有何特性？重要性及应用如何？ 结论：解析函数w=f(z)构成的映射具有共形性（即共形映射）；应用共形映射成功地解决了流体力学、弹性力学、电学理论、同轴测量线的设计问题、3D模型变形、脑体映射以及其他方面的许多实际问题。 复变函数及其导数的概念 复变函数 工程数学（二） 1. 曲线的切线 设连续曲线 (z) §1 共形映射概念 复变函数 工程数学（二） (z) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ 复变函数 工程数学（二） (z) 复变函数 工程数学（二） 2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模) 则 ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ 复变函数 工程数学（二） (z) (w) 复变函数 工程数学（二） ~~~~~~~ x 复变函数 工程数学（二） ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ 复变函数 工程数学（二） (z) (w) ——保角性 复变函数 工程数学（二） 由上述讨论我们有 复变函数 工程数学（二） (z) (w) 复变函数 工程数学（二） 结论：一个解析函数当其导数不为0时,具有转动角不变性和伸缩率不变性。例如w=z2在z=0处不具有上述特性. 复变函数 工程数学（二） 解 转动角 伸缩率 映射后切线方程为 例1 求函数w=f(z)=z2+z对应的映射在点 动角和伸缩率。此映射将过点z0的平行于向量 正方向的切线方向变成w平面上那一条切线方向？ 处的转 x y u v z0 w0 T T1 (z)?(w) 复变函数 工程数学（二） 解 例2 试证明w=eiz将互相正交的直线族Rez=c1与Imz=c2依次变为互相正交的直线族v=utanc1和圆周族 而w=eiz在复平面解析，且 故w=eiz具有保角性， 互相正交的直线族Rez=c1与Imz=c2 ?互相正交的直线族v=utanc1和圆周族 复变函数 工程数学（二） 3. 共形映射的概念 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 定义 设函数w=f(z)构成的在z0的邻域内是一一映射，在z0具有保角性和伸缩率不变性，则称映射w=f(z)在z0是共形映射。 定理 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 复变函数 工程数学（二） 解 例3 讨论解析函数f(z)=z,f(z)=az+b,和f(z)=ez的共形性。 f(z)=ez是周期函数，在y?[0，2?）的带形域内是一一的，因而是共形的。 且f(z)=z是一一的，故f(z)=z在z平面上是共形的。 当a?0时,f(z)=az+b是一一的,在z平面上是共形的。 复变函数 工程数学（二） 注：共形映射的分类 （1）第一共形映射：要求映射保持伸缩率不变，且曲线间夹角的大小和方向都不变， z0 ? l1 l2 w0 ? （2）第二共形映射：要求映射保持伸缩率不变，曲线间夹角的大小不变，但方向相反。 是关于实轴的对称映射，它把从z出发夹角为?两条曲线映射成夹角为-?的两条曲线，是第二共形映射 是第二共形映射 复变函数 工程数学（二） §2 分式线性映射 1. 分式线性映射的定义 定义　 ~~~~~~~~~~~~~ (2)分式线性映射又称为双线性映射（也称为莫比乌斯（德国，1790-1868）映射）； 事实上，对固定w,上式关于z是线性的，对固定z，上式关于w也是线性的； 复变函数 工程数学（二） ~~~~~~~~~~ (4)两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射： 复变函数 工程数学（二） 　　分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合： 称为：　平移　　　　整线性　　　　　反演 复变函数 工程数学（二） ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~