西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 泰勒级数.ppt

复变函数 工程数学（二） 第 四 章 级 数 §4.3 泰勒(Taylor)级数 §4.4 罗朗(Laurent)级数 复变函数 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 引子 ? 思考：解析函数能否用幂级数表示？ 工程数学（二） D k 复变函数 工程数学（二） §3 泰勒级数 定理 若函数f (z)在区域D内解析， 为D内一点，d为 到D的边界上各点的最短距离，那么，当 时，有 泰勒定理Taylor 复变函数 工程数学（二） 注： 1) 使泰勒展式成立的圆域半径R等于从z0到f (z) 的距z0最近一个奇点α之间的距离，即 2） f (z)解析 3）由泰勒定理展开的幂级数肯定有如下性质 i） 和函数在收敛圆内解析； ii） 在收敛圆内可以逐项求导； iii）在收敛圆内可以逐项积分。 4） 展开式唯一 复变函数 工程数学（二） 【结论】 复变函数 工程数学（二） 1.直接计算系数 泰勒级数的求法 复变函数 工程数学（二） 2.复合计算法 总结： 复变函数 工程数学（二） 3.导数、积分法 复变函数 工程数学（二） 小结 复变函数 工程数学（二） 例7 求幂函数 的主值支 在z=0处的泰勒展开式 复变函数 工程数学（二） 定理 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 思考：函数f (z)在z0不解析，能否在z0的某 邻域内展开成（z-z0）的幂级数？ 例： 在 内 复变函数 工程数学（二） 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即 复变函数 工程数学（二） §4.4 罗朗(Laurent)级数 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。 复变函数 工程数学（二） Cauchy 积分公式的推广到复连通域 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 1. 预备知识 复变函数 工程数学（二） 2. 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分： 复变函数 工程数学（二） 作业 P143 11(2)(6) 12(1)(3)(6) 复变函数 工程数学（二）