西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数.ppt

复变函数 工程数学（二） 复 变 函 数 复变函数 复变函数论的背景 　　复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的，但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪达朗贝尔、欧拉等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数 ，复变函数论才能顺利建立和发展。 复变函数 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕柯西 、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的。 到二十世纪，复变函数论已成为数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用。 复变函数 课程简介 研究对象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数等。 复数与复变函数、解析函数、 复变函数 学习方法 复变函数中许多概念、理论和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。 复变函数 §1 复数及其代数运算 §2 复数几何表示 第一章 复数与复变函数 §3 复数的乘幂与方根 复变函数 §1 复数及其代数运算 一.复数的概念 说明： 2）两个复数相等 实部、虚部分别相等 3）一般,任意两个复数不能比较大小。 则复数为纯虚数 则复数为实数 复数 形如z=x+iy 的数，称为复数 复变函数 二.复数的代数运算 1.加减乘除 复变函数 2.复数的运算法则 (交换律) (结合律) (分配律) 复变函数 称实部相同而虚部为相反数的两个 数x+iy和x-iy为共轭复数。 3.共轭复数 与z=x+iy共轭的复数记为 ，即 复变函数 复变函数 复数转化为实数 复变函数 求证： 复变函数 §2 复数几何表示 复数 复平面上的点 数z 点z 1.复数的模 复变函数 2）复数的加减运算与相应向量的运算一致 1）复数可以表示为向量 复变函数 2.复数的辐角 说明： 若z=0，则辐角不定 3) 多值性 4) 把满足 的辐角称为辐角主值 记为 复变函数 复变函数 当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上 当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上 复变函数 3.复数的表达形式 三角表达式 指数表达式 说明： 复变函数 例1.将下列复数写为三角表达式与指数表达式 例2.求证 说明：证明时遇到 的问题，首先考虑 复变函数 例3.求下列方程所表示的曲线 复变函数 §3 复数的乘幂与方根 一.复数的乘积与商 定理一：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积； 两个复数乘积的幅角等于它们的幅角的和。 复变函数 注： 1） 3）几何解释 复变函数 定理二 两个复数的商的模等于它们模的商； 两个复数的商的幅角等于被除数与除数的幅角的差。 例1.一个复数乘以-i，它的辐角、模如何变化？ 对于 ，有 复变函数 二.复数的幂与根 1.幂 n个相同的复数z的乘积称为z的n次幂，记作 注： 时， ——棣莫弗公式 2）若定义 复变函数 2.根 当 时，方程有n个不同的根，我们把每个这样的根称为z的n次根 结论：方程 有n个相异的根 其中 复变函数 例2.求 复变函数 本次课小结 本次课的内容要点 1.复数的概念 2.复数的代数运算 3.复数的几何表示 4.复数的乘幂与方根 作业：习题一 4(4)、8(1,3,6)、11 14(3、4)、16、21(4、6)