西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 解析函数的高阶导数.ppt

复变函数 工程数学（二） 复 变 函 数 §7 解析函数与调和函数的关系 §6 解析函数的高阶导数 复变函数 §6 解析函数的高阶导数 定理一 解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为： 其中C为在函数f (z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D。 复变函数 【注】 1 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数，导数仍然是解析函数； 2 以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异； 3 高阶导数公式的作用，在于通过求导来求积分； 复变函数 复变函数 若函数f (z)在单连域B内连续，且对于 B内任何一条简单闭曲线C都有 则f (z) 在B内解析。 例3.求证： Morera定理 复变函数 满足C-R方程 【总结】如何判断函数解析 复变函数 §7 解析函数与调和函数的关系 定义 如果二元实变函数 在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程。 那么称 为区域D内的调和函数。 一.调和函数 复变函数 二.解析函数与调和函数的关系 定理 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。 复变函数 定义 设f (z)=u+iv为解析函数，则称v为u的共轭调和函数。 解析函数的虚部是实部的共轭调 和函数 结论： 复变函数 三.求解析函数 偏积分法 复变函数 不定积分法 复变函数 【总结】计算复积分的一般方法： 复变函数 方法2： 如果f (z)在单连域B内处处解析，G(z)为f (z) 的一个原函数，那么 其中z0，z1为域B内的两点。 复变函数 方法3 复变函数 复变函数 作业：