西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 解析函数.ppt

复变函数 工程数学（二） 第二章 解 析 函 数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 复变函数 §1 解析函数的概念 一.复变函数的导数与微分 1.导数的定义 存在，则称函数f (z)在z0处可导，称该极限值为f (z)在z0处的导数，记作 定义 设函数w=f (z)定义于区域D，Z0为D中的一点，点z0+Δz不出D 的范围，如果极限 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f (z)在区域D内可导。 复变函数 例1 求 的导数 2.实部、虚部都可导的复变函数不一定可导。 【注】 复变函数 2.可导与连续 连续的复变函数不一定可导 结论：可导的复变函数一定连续 复变函数 3.求导法则 复变函数 复变函数与实函数具有同样的求导法则 复变函数 例3 解 例4 讨论 例5 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。 复变函数 4.微分 可导 可微 函数f(z)在区域D内处处可微，则称f(z)在D内可微 复变函数 二. 解析函数的概念 定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 复变函数 例6、 研究下列函数的解析性 复变函数 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。 定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 复变函数 §2 函数解析的充要条件 关于二元实函数的全微分 高等数学（下）P71 高等数学（下）P72 复变函数 定理一 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足柯西—黎曼方程 复变函数 注： 复变函数 定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 注： 1.是否满足柯西－黎曼方程 2.是否具有一阶连续偏导数。 高等数学（下）P72 复变函数 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： 复变函数 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 例3 求证函数 复变函数 复变函数 总结： 判断函数是否解析的方法 1.定义法 2.运算法则 3.定理——充要条件 复变函数 作业: 2(1 3) 3(1 3) 4(1) 8 10(1) 复变函数