西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复变函数的积分.ppt

复变函数 §3 基本定理的推广——复合闭路定理 1)若C的内部完全包含于D,则函数f(z)在C上及内部解析 2)若C的内部不完全包含于D 复变函数 设D是多连通域，C以及C1为D内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向)，C1在C的内部，而且以C及C1为边界的区域D1全含于D. A F D C B E C1 D1 F’ A’ E’ B’ A 复变函数 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因 闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值．（变形过 程中不经过函数f(z)的不解析点） 闭路变形原理 复变函数 复合闭路定理： 设Ｃ为多连通区域Ｄ内的一条简单闭曲线，Ｃ１，Ｃ２，? ? ? Ｃn是在Ｃ内部的简单闭曲线，它们互不包含也不相交，并且以Ｃ，Ｃ１，Ｃ２，? ? ? Ｃn为边界的区域全含于Ｄ，如果f(z)在Ｄ内解析,那么， Ｄ Ｃ Ｃ１ Ｃ２ Ｃ３ 复变函数 复变函数 复变函数 若 f (z) 在D内解析，则 分析： 复变函数 小结 1 复变函数积分的概念 2 Cauchy-Goursat基本定理 3 复合闭路定理 复变函数 工程数学（二） 第三章 复变函数的积分 §1 复变函数积分的概念 §3 基本定理的推广—复合闭路定理 §2 柯西－古萨基本定理 复变函数 §1 复变函数积分的概念 一.积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向,那么就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线. 1.有向曲线 复变函数 说明： 3) 简单闭曲线的正方向：值当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，临近P点的曲线内部始终位于P点的左方。 复变函数 2. 积分的定义 定义 D B x y o 复变函数 复变函数 复变函数 二.积分的计算 复变函数 1)被积函数连续 2)曲线C按段光滑 复变函数 例1 解 又解 A o x y P206 复变函数 复变函数 例3 解 o x y r C 复变函数 ? í ì 1 = = - = - \ ò ò = - + + 0 0 0 2 ) ( ) ( 0 1 0 1 0 n n i z z dz z z dz r z z n C n p 复变函数 4. 积分性质 设C是简单逐段光滑曲线，f(z),g(z)在C上连续，则 复变函数 复变函数 分析§1的积分例子: §2 Cauchy-Goursat基本定理 复变函数 由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关。 先将条件加强些，作初步的探讨 复变函数 复变函数 —Cauchy 定理 复变函数 Cauchy-Goursat基本定理： B C 复变函数 (3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。 B B C C z1 z0 C1 C2 C1 C2 z0 z1