西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学积分变换 Laplace积分变换.ppt

工程数学（二） 积分变换 4.卷积与卷积定理 4.1 上的卷积定义 若函数 满足, 时都为零, 称为函数 在 上的卷积. 工程数学（二） 积分变换 解:根据定义 分部积分一次,可得 练习:求　　　的Laplace卷积 工程数学（二） 积分变换 解: 工程数学（二） 积分变换 4.2 卷积的性质 工程数学（二） 积分变换 4.3 Laplace变换的卷积定理 注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积. 工程数学（二） 积分变换 例2 解： 工程数学（二） 积分变换 例3 解法3: 工程数学（二） 积分变换 5.1 利用Laplace变换计算广义积分 一、 形如 解：由于 故 5.Laplace变换的应用 练习：求 工程数学（二） 积分变换 二、 形如 例2　求　 解： 练习： 工程数学（二） 积分变换 5.2 微分、积分方程Laplace变换法求解 象原函数 （方程的解） 象函数 微积分方程 象函数的 代数方程 取Laplace逆变换 取Laplace变换 解代数方程 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示. 工程数学（二） 积分变换 例3 求微分方程 满足初始条件 的解 解 设? 对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得 解得 所以 工程数学（二） 积分变换 例4 求解 。 工程数学（二） 积分变换 例5 求解 工程数学（二） 积分变换 工程数学（二） 积分变换 工程数学（二） 积分变换 工程数学（二） 积分变换 第二章 Laplace积分变换 1. Laplace变换的概念 2. Laplace变换的性质 3. Laplace逆变换 4. 卷积和卷积定理 5. Laplace变换的应用 工程数学（二） 积分变换 t f (t) O t f (t)u(t)e-bt O 工程数学（二） 积分变换 1. Laplace变换的概念 定义1 设函数 当 有定义,而且积分 是一个复参量） 在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ,记做 ? 叫做 的拉氏变换,象函数. 叫做 的拉氏逆变换,象原函数, = ? 工程数学（二） 积分变换 例2 求单位阶跃函数 的拉氏变换  解 ? 例1 求单位脉冲函数 的拉氏变换  解 ? 工程数学（二） 积分变换 1.2 拉普拉斯变换存在定理 若函数 满足下列条件 Ⅰ 在 的任一有限区间上连续或分段连续, 时, 成立,则函数 的拉普拉斯变换 的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数 Ⅱ 当 时, 及 ,使得 在半平面Re(s)c上一定存在, 并且在Re(s) c的半平面内, F(s)为解析函数. 工程数学（二） 积分变换 M Mect f (t) t O 注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件. 工程数学（二） 积分变换 例3 求函数 的拉氏变换  解 ? 例4 求单位斜坡函数 的拉氏变换  解 ? 1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 工程数学（二） 积分变换 例5 求正弦函数 的拉氏变换  ? 解 则 所以 ? 工程数学（二） 积分变换 即 同理可得 如 ? ? 工程数学（二） 积分变换 1.4 周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 当 在一个周期上连续或分段连续时,则有 是周期为 的周期函数,即 可以证明:若 ? 工程数学（二） 积分变换 1.5 利用Laplace变换表求函数的Laplace变换 工程数学（二） 积分变换 2.Laplace变换的性质 2.1 线性性质 ? 设 为常数则 ? ? ? 工程数学（二） 积分变换 2.2 相似性质 若 = ? 则 ? ? 2.3 平移性质（1）象原函数的平移性质(延迟性质) 工程数学（二） 积分变换 例1 求函数 的拉氏变换 解 因为 ? 所以 ? （2）象函数的平移性质(位移性质) ? 为实