西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学 微分方程详解.ppt

面.它与坐标面x1Ox2只在一个点，即原点Ｏ(0,0,0)接触 (图5-1(a)). 如果用水平面V=C(正 图 5-1 相交，并将截口垂直投影到x1O x2平面上，就得到一组一个套一个的闭曲线族 (图5-1(b)),由于 连续可微，且V(0,0)=0,故在 的充分小的邻域中， 可以任意小.即在这些邻域 常数)与V= V 中存在C值可任意小的闭曲线V=C. ?对于负定函数 可作类似的几何解释，只是曲面 将在坐标面x1O x2的下方. ，自然应对应于这样的曲面，在原点O的任意邻域，它 既有在x1O x2平面上方的点，又有在其下方的点. 常负. 对于变号函数 定理5.2 对系统(5.11)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数 V(x)满足????(1) 正定；????(2) 则(5.11)的零解是稳定的.???????????????????????? ?图 5-2 例1 考虑无阻尼线性振动方程????? 的平衡位置的稳定性. ?(5.14) 解 把(5.14)化为等价系统???????????????????? (5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作V函数??????? ?有? ??(5.15) 即V(x,y)正定， 是稳定的，即(5.14)的平衡位置是稳定的. 则 ?定理5.3 对系统(5.11)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数 V(x)满足?(1) 正定,?(2) 负定，则(5.11)的零解渐近稳定. ?引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续 有界函数 x(t)有 0.于是由定理5.2知(5.15)的零解 ???例2 证明方程组???????????????????????? ???证明 作李雅普诺夫函数??????????? 有? 在区域 上V(x,y)正定， 负定，故由定理5.3知其零解渐近稳定. (5.17) 的零解渐近稳定 ?定理5.4 对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数V(x)满足 正定， 2）V(x)不是常负函数，则系统(5.11)的零解是不稳定的. ?本讲要点：????1．李雅普诺夫意义下方程零解稳定性和渐近稳定 性定义。????2．李雅普诺夫第二方法的基本原理和直观意义。 ● Hurwitz 判据 解 ● 求解思想: 地形系 (Liapunov 函数) ● 结构稳定； 不稳定， 为分支值。 (2) 轨道稳定性 ● 与Liapunov稳定性的区别。 ● 对于平衡点，两者的一致性。 ● 研究方法—— Poincare 映射法（略） (3) 结构稳定性 ● 某一参数的微小扰动不改变系统轨的拓扑结构（包括定向） 则称此系统关于此参数是结构稳定的。 ● 使系统拓扑结构发生改变的参数值称为分支值，轨线拓扑结构的变化称为分支。 ● 轨线 轨线的分布(结构) 平衡态 静平衡(奇点) 初等奇点 线性系统 非线性系统 高阶奇点 动平衡(闭l轨线) 稳定 稳定性 Liapunov 稳定 概念 渐近稳定 不稳定 判别法 特征根法(局部) V函数法大范围 轨道稳定 结构稳定 轨线的走向 轨线与奇点的关系 平面极限集结构 轨线与极限集的关系 定性方法 * ?易于看出，例1中的轨线 ????2）极限环的存在性????稳定的极限环表示了运动的一种稳定的周期态，它在非线性振动问题 中有重要意义.一般说来，一个系统的极限环并不能像例1那样容易算出来.关于判断极限环存在性的方法，我们只叙述下面著名的庞卡莱—班迪克松 (Poincaré-Bendixson)环域定理，其证明可参阅专著[4] ????定理5.6 设区域D是由两条简单闭曲线L1和L2所围成的环域，并且在 从L1和L2上出发的轨线都不能离开(或都不能进入) 是稳定的极限环. 上系统(5.18)无奇点； 设L1和L2均不是闭轨线，则系统(5.18)在D内至少存在一条闭轨线Γ，它与L1和L2的相对位置如图5-22，即Γ在D内不能收缩到一点. 如果把系统(5.18)看成一平面流体的运动方程，那么上述环域定理表明：如果流体从环域D的边界流入D，而在D内又没有渊和源,那么流体在D内有环流存在.这个力学意义是比较容易想象的.????习惯上，把L1和L2分别称作Poincaré-Bendixso