西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 罗朗级数.ppt

复变函数 工程数学（二） 第 四 章 级 数 §4.4 罗朗(Laurent)级数 复变函数 工程数学（二） 思考：函数f (z)在z0不解析，能否在z0的某 邻域内展开成（z-z0）的幂级数？ 例： 在 内 复变函数 工程数学（二） Cauchy 积分公式的推广到复连通域 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 1. 预备知识 复变函数 工程数学（二） 2. 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分： 复变函数 工程数学（二） 级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散。 复变函数 工程数学（二） z0 R1 R2 z0 R2 R1 复变函数 工程数学（二） (2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上, 复变函数 工程数学（二） 3. 函数展开成双边幂级数 定理 复变函数 工程数学（二） 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2 复变函数 工程数学（二） 系数cn的积分分别是在k2， k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 复变函数 工程数学（二） (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 　　 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 复变函数 工程数学（二） 4. 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。 事实上， D z0 R1 R2 复变函数 工程数学（二） D z0 R1 R2 复变函数 工程数学（二） 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式求Laurent系数的方法。 例1 解 复变函数 工程数学（二） 例2 解 例3 解 复变函数 工程数学（二） 例4 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 复变函数 工程数学（二） 解: 没 有 奇 点 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 注意首项 复变函数 工程数学（二） (2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。 小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法： 复变函数 工程数学（二） 解 (1) 在(最大的)去心邻域 例5 y x o 1 2 复变函数 工程数学（二） (2) 在(最大的)去心邻域 x o 1 2 练习： 复变函数 工程数学（二） (2)根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数。 复变函数 工程数学（二） (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。 Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成 级数。 复变函数 工程数学（二） 作业 P143 14 16(2)(3)(5) 17 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二）