西安交大西工大 考研备考 工程数学复变函数前三章测试题及答案.doc

《复变函数前三章》测试题 学号_______________姓名__________ 一、填空题 1．复数的主辐角为 ． 2．的值为 ． 3． ； 4. 函数在 连续；在 可导； 解析。 5． 。 二、选择题 1、复数 的模为 ( ) A. ； B. ； C. ． 2、复数 的主辐角为 ( ) A. ； B. ； C. ． 3、 所表示的平面区域为 ( ) A. 上半平面； B. 下半平面； C. 单位圆的内部． 4、 的值为 ( ) A. ； B. ； C. 无意义． 5、方程 的根为 ( ) A. ； B. ； C. ． 6、函数 ( ) A. 处处可导； B. 仅在上可导； C. 处处不可导． 7、设 ，则 ( ) A. ； B. ； C. ． 三、计算题 1． 2． ，C为正向圆周. 3． ，求 4．计算，其中C为正向圆周：； 5． 6． 三、已知，求常数a 以及二元函数，使得为 解析函数且满足条件． 《复变函数前三章》测试题答案 一、填空题 1．复数的主辐角为 ． 2．的值为． 3．； 4. 函数在整个复平面上连续 ；原点处可导连续 ；处处不解析。 5． 0 。 二、选择题 1、复数 的模为 (C ) A. ； B. ； C. ． 2、复数 的主辐角为 (C ) A. ； B. ； C. ． 3、 所表示的平面区域为 (A ) A. 上半平面； B. 下半平面； C. 单位圆的内部． 4、 的值为 (A) A. ； B. ； C. 无意义． 5、方程 的根为 (A) A. ； B. ； C. ． 6、函数 (B) A. 处处可导； B. 仅在上可导； C. 处处不可导． 7、设 ，则 (B ) A. ； B. ； C. ． 三、计算题 1． 解：令，在内，函数有两个奇点和，令和分别为曲线内围绕两个奇点所作的互不相交的正向圆周。根据复合闭路定理 由柯西高阶导数公式，有 由柯西积分公式，有 原式． 2． ，C为正向圆周. 解：令 ，则由高阶求导公式得： 原式 3． ，求 解：因在复平面上处处解析，由柯西积分公式知，在内， 所以 而点 在内，故 4．计算，其中C为正向圆周：； 解：由于奇点包含在曲线C内，且 令 ，则由柯西积分公式：原式 5． 解： 6． 解：由于在单位圆上，故有 三、已知，求常数a以及二元函数，使得为 解析函数且满足条件． 解：(1) ，，由可得 ，即． (2) 由 ，， 由 ， ， ， ， (3) 由 得 ， 即 1．设是，从到的一周，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 故 选（D）. 2. 计算，其中是常数. 解 设，则 于是 若 时，由柯西积分公式可知，原式 当 时，由柯西积分公式可知，原式 3. 如果是解析函数，试证： （1）也是解析函数. （2）是的共轭调和函数. 证 （1）是解析函数. （2）为解析函数，故是的共轭调和函数. 4. 设解析，且，求 解 故解析函数的虚部为0，从而有 是实常数，于是 由此 （是复常数） 5. 设在内解析，在上连续，且在上，证明 证 （）