西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 留数讲解.ppt

复变函数 工程数学（二） 第五章 留 数 §5.2 留 数 复变函数 工程数学（二） 1. 留数的定义 复变函数 工程数学（二） 定义　设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义,　 Res [f (z), z0]= c–1 　　　(1) 复变函数 工程数学（二） 由上式可知：f(z)在封闭 曲线C内有唯一孤立奇 点时，积分可以通过 留数计算得到 当f(z)在封闭曲线C 内孤立奇点不唯一 时，情形如何？ 复变函数 工程数学（二） 2. 留数定理 定理 证明 复变函数 工程数学（二） D c zn z1 z3 z2 由复合闭路定理得： 用2?i 除上式两边得: 得证！ 复变函数 工程数学（二） 求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。 在从定义出发求留数的方法之外 是否有更简便的途径？ 复变函数 工程数学（二） 一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利。 以下就三类孤立奇点进行讨论： 3. 留数的计算规则 复变函数 工程数学（二） 规则I 复变函数 工程数学（二） 规则II 　当m=1时，式(5)即为式(4). 复变函数 工程数学（二） 规则III 复变函数 工程数学（二） 4. 无穷远点处留数的计算规则 定义 设f(z)在圆环域 内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 注： 1）积分路线方向是负方向，即C取顺时针 的值与C无关， 则积分 称此值为f (z)在点∞的留数 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 定理二 如果f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为z1，z2，…，zn，∞，则f (z)在各点的留数总和为零。 用途？ 复变函数 工程数学（二） 5. 留数定理应用举例 例5 计算积分 ,C为正向圆周 例6 计算积分 ,C为正向圆周 复变函数 工程数学（二） 例7 解 复变函数 工程数学（二） 例8 解 复变函数 工程数学（二） 故　由留数定理得： 复变函数 工程数学（二） 　(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。 如 是f (z)的三级极点。 复变函数 工程数学（二） ---该方法较规则II更简单！ 复变函数 工程数学（二） 　(2) 由规则II 的推导过程知，在使用规则II 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更 简单。 如 复变函数 工程数学（二） 6. 留数定理与复变函数积分的关系 (1)若被积函数在封闭曲线C内为解析函数，则在C内无 奇点，故被积函数的留数为零。由留数定理有 上式即为复变函数积分柯西—古萨基本定理：如果函数 在单连通域B内处处解析，那么 沿B内的任一条封闭曲线C的积分为零。 复变函数 工程数学（二） (2)若被积函数在积分回路C内有n+1级极点，考察积分 其中 为C内点，则 是被积函数的n+1级极点。由留数定理以及n+1级极点留数的计算公式，有 也即： (高阶导数公式 ) 复变函数 工程数学（二） 小结： 一、留数和留数定理 留数定理 柯西-古萨基本定理 复合闭路定理 柯西积分公式 高阶导数公式 1、留数 2、留数定理 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 注意：求留数是要求大家熟练掌握的技能，通过以 上例题的练习。我们发现，对于某类型的奇 点，一般规则未必总是最便捷的解决办法， 要求大家对多种手段灵活运用。 复变函数 工程数学（二） 作 业 P183 8（2）（4）（6） 9（1）（2）（5） 10（2）11 （2） 12（1） （3） 思考：留数定理与复合闭路定理间的关系？ 复变函数 工程数学（二） 复变函数 工程数学（二） 闭路积分 观察g(z)在C及C内的奇点个数 没有奇点 有奇点 应用基本定理 一个奇点 多个奇点 应用复合闭路定理 ？ 其它 柯西积分公式 高阶导数公式