西工大、西交大自动控制原理 4.2 根轨迹绘制的基本法则2.ppt

小结 需掌握绘制根轨迹的九个准则 根轨迹的连续性和对称性； 根轨迹的支数、起始点和渐进线； 根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点； 根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点； 闭环极点之积和之和。 Homeworks： 4-3（a,b) 4.4 4-5 4-6 4-8 4-10 开环传递函数 根轨迹 -1/T j 0 j 0 -1/T1 -1/T2 根轨迹 j 0 -1/T1 -1/T2 -1/T3 j 0 j 0 -1/T 开环传递函数 根轨迹 j 0 -1/T1 -1/T2 j 0 j 0 -1/T 开环传递函数 根轨迹 j 0 -1/T j 0 开环传递函数 * * * * * 1　绘制根轨迹的基本法则 [例5]　已知某开环系统的零、极点分布如图所示， 　　　 试求根轨迹的起始角和终止角。 -9 -7 -5 -3 -1 根轨迹的起始角(出射角)和终止角(入射角) (6) 1　绘制根轨迹的基本法则 解：（一）起始角： 根轨迹的起始角(出射角)和终止角(入射角) (6) 1　绘制根轨迹的基本法则 解：（二）入射角： 根轨迹的起始角(出射角)和终止角(入射角) (6) 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹的起始角(出射角)和终止角(入射角) (6) 根轨迹的分离点和分离角 (5) 实轴上的根轨迹 (4) 根轨迹的起点和终点 (2) 根轨迹的渐近线 (3) 根轨迹的分支数、连续性和对称性 (1) 根轨迹示例2 j 0 j 0 j 0 0 j j 0 j 0 j 0 j 0 0 j j 0 0 j j 0 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) 如果根轨迹与虚轴相交，则闭环特征根中有一部分位 于[s]平面的虚轴上，即闭环特征根中有共轭纯虚根。 故此时系统必处于临界稳定，此时系统的开环根轨迹 增益值 为临界值 。所以有必要确定根轨迹与虚 轴的交点。 确定根轨迹与虚轴交点的方法有很多：可利用Routh 判据；也可用解析法令 代入方程中求得，还 可根据相角条件用图解法试探求得。工程中常用前两 种方法。 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) [例6]　已知系统的开环传递函数， 试求根轨迹与虚轴的交点。 Routh 判据 解：系统的闭环特征方程为： 列出劳斯表如下： 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) Routh 判据 令第一列中含 的元素为零，得： 对应的 用 s2 行元素为系数， 构造辅助方程为： 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) Routh 判据法 步骤： (1)　列写Routh表 (2)　令Routh表第一列中包含 的元素项为零，解得 根轨迹与虚轴的交点处的 值。 (3)　因为一对纯虚根是数值相等、符号相反的根，故 利用Routh表中 行的元素为系数构造辅助方 程，解出纯虚根的值(即根轨迹与虚轴交点处 值). 若根轨迹与虚轴有二个以上的交点，则可用Routh 表中大于 的偶次幂的行为系数构造辅助方程， 解出各交点处的 值。 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) 系统闭环特征方程式为： 解析法 令 代入上式，可得： 令 求解上述方程，即可求得交点处的 值和 值。 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) [例7]　仍以上例为例：已知系统闭环特征方程为 求根轨迹与虚轴的交点。 令其实部、虚部分别等于零，可得： 解析法 解：令 代入 中，整理得： 1　绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴的交点 (7) 联立求解后可得： 故：交点处 得到了与用Routh判据法所得相同结果。 解析法 1　绘制根轨迹的基本法则 闭环特征根(闭环极点)的和与积 (8) 当 n-m =2 时，闭环特征根(闭环极点)之和等于开 环极点之和且为常数。即： 此式表明，随着 的增大(或减小)，若一些闭环特 征根(闭环极点)在 [s]平面上向右移动，则另一些闭环 特征根(闭环极点)必向左移动，且在任一 下，闭环 特征根(闭环极点)之和保持常数 不变。 1　绘制根轨迹的基本法则 闭环特征根(闭环极点)的和与积 (8) 闭环特