西工大、西交大自动控制原理 第四章 根轨迹法.ppt

* * * * * * * 第四章 根轨迹法   4-1 根轨迹的基本概念 4-2 根轨迹的绘制方法 4-3 其它形式的根轨迹 4-4 增加开环零极点对根轨迹的影响 4-5 闭环零极点分布与系统性能指标 4-1根轨迹的基本概念 根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从 0 到+∞变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些曲线。 根轨迹方法是一种图解方法。 系统的闭环传递函数为: 系统特征方程为: 解方程得闭环特征根为: K取不同值对应的闭环根 s1,s2 K 0 1/8 1/4 1/2 … … ∞ S1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 … … -0.5+j∞ S2 -1 -0.854 -0.5 -0.5+j0.5 … … -0.5-j∞ K=0 K=0 K=0.25 K=0.5 K=0.5 K=1.25 K=1.25 系统的开环传递函数一般可写为 为系统的m个开环零点; 为系统的n个开环极点; 为系统开环跟轨迹增益. K为系统的开环增益; Zero Poles 4-2根轨迹的绘制方法 一：幅角条件及幅值条件 控制系统的闭环传递函数一般写为: 特征方为: 向量形式表示为: 幅值 幅角 Magnitude Phase angle 例4-1 设有一反馈控制系统的开环传递函数为: : 1)利用幅角条件 -P1 -P3 -P2 -Z1 S1 26O 45O 79O 120O 解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以 检验点s1= -1.5+j2.5是否在根轨迹上; 并确定与其相对应的 值. 2)由幅值条件求s1相对应的 值 =12.15 二、根轨迹的基本规则 结论: 由此求得根轨迹的起点为系统的开环极点; 根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点 1. 根轨迹的起点和终点 其二: 是在nm时,只有当s →∞时 其一: 1)当 =0时,由幅值条件,必有 2)当 →∞时,由辐值条件,存在两种可能: 起点 终点 2. 根轨迹的分支数 4. 实轴上的根轨迹 根轨迹的分支数等于开环极点数. 若试探点S1右边零点极点总数是奇数， 则S1点所在的线段是根轨迹的一部分. 渐近线在实轴上均交于一点,其座为: 渐近线的倾角为: S1 60o The number of separateloci Symmetry 3. 根轨迹的对称性 根轨迹或是在实轴上,或是对称实轴. 5. 根轨迹的渐近线 Asymptote 会合点 Converging point 分离点 Breakaway point (1) 重根法 (2) 用幅角条件 6. 根轨迹的分离点及会合点 一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点, 两个零点间的根轨迹上必有一个会合点. 7. 根轨迹与虚轴的交点 (1) 直接利用特征方程 例4-2 系统的特征方程为 以s=jw代入 -j3.74 j3.74 =0 =0 因此,与虚轴交点的坐标为±j3.74 (2) 利用劳斯判据 将系统特征方程展开为: =0 K = 60 10+K 劳斯阵列表为: 1 14 5 10+K 8.根轨迹的出射角和入射角 (1)出射角 The angle of locus departure from a pole (2)入射角 The angle of locus awival at complex zeros 例4-3 一系统开环传递函数为 33.5o 63.5o 135o 90o 9. 闭环极点之和 系统满足n - m≥2时 系统闭环极点之和等于开环极点之和。 10. 闭环极点之积 系统的n-m≥２且有开环零点位于原点时 系统闭环极点之积就等于开环极点之积。 3.根轨迹对称实轴。 5.渐近线 6.分离点和会合点 4. 实轴上的根轨迹分布 三、根轨迹绘制举例 解 按照绘制根轨迹的基本规则,有 1.画出开环零、极点分布图. -1 -2 -3 2. 根轨迹有两条分支。 画极点 画极点 画零点 分离点 会合点 例4-4 已知一系统的开环传递函数为: 试绘制根轨迹。 =0.172 =5.818 3. 根轨迹对称实轴。 4. 实轴上的无根轨迹分布。 5. 渐近线和实轴的交点。 6. 分离点和会合点。 7.根轨迹与虚轴的交点。 例4-5 某负反馈控制系统的开环传递函数为 解: 画出开环零、极点分布图 -1 2. 根轨迹有四条