西工大、西交大自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹法_01.ppt

故：系统的开环传递函数为： 式中： 为开环根轨迹增益； 而系统的闭环传递函数为： 式中： 为闭环根轨迹增益。 　　第一节　根轨迹的基本概念 4　闭环零、极点与开环零、极点的关系 故有结论： A：闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道根轨迹增 　　益 ；当 时，对于单位反馈系统，闭环 　　系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益 ； B：闭环零点由前向通道 零点和反馈通道 　　的极点组合而成。对单位反馈系统，闭环零点就 　　是开环零点。所以闭环零点很容易确定。 C：闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增 　　益均有关。 　　第一节　根轨迹的基本概念 4　闭环零、极点与开环零、极点的关系 根轨迹法的根本任务： 　　根据已知的开环传递函数 ， 　　即已知开环零、极点的分布及开环根轨迹增益 ， 　　通过图解法的方法找出系统的闭环极点。然后确 　　定系统的闭环传递函数。 在已知系统闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间 响应，可利用拉氏变换法求出，或利用计算机算出。 　　第一节　根轨迹的基本概念 4　闭环零、极点与开环零、极点的关系 因为：系统开环传递函数为 故：负反馈系统的闭环特征方程为 　　　　　　　　　　　　　即 　　第一节　根轨迹的基本概念 5　根轨迹方程 亦可写成： 或： 则上式称为根轨迹方程。 根轨迹方程： 或： 中： 为已知的开环零点， 为已知的开环极点， 　　　为开环根轨迹增益，它可从 变化， 　　　为闭环特征方程式的根，亦即闭环极点。 　　第一节　根轨迹的基本概念 5　根轨迹方程 根轨迹方程的实质：一个向量方程。 由于 故根轨迹方程又可写成： 将模值和幅角分开列写，上式又可写为如下两个方程： 　　第一节　根轨迹的基本概念 5　根轨迹方程 或写为： 其中的两个式子分别称为幅值条件和相角条件。 以上幅值条件和相角条件是根轨迹上的点应同时满足的 两个条件。根据这两个条件，就可以完全确定 平面上 的根轨迹及根轨迹上各点对应的 　值。 　　第一节　根轨迹的基本概念 5　根轨迹方程 注意：相角条件是确定 平面上根轨迹的充要条件。 原因：幅值条件与 有关，而相角条件与 无关。 　故：任何一个满足相角条件的 值，代入幅值条件 　　　总可以求出一个相应的 值。 　即：满足相角条件的 值，必同时满足幅值条件。 结论：相角条件是确定根轨迹的充要条件。 　　第一节　根轨迹的基本概念 5　根轨迹方程 第四章 根轨迹法 例题 根轨迹 例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 - -0.884 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 根轨迹 例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 - -4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 根轨迹 例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。 根轨迹 例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 - -0.884 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 根轨迹 例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 零极点分布图 p1 = 0 -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i 1.0000 p2 = 0 -2.0000 + 5.2915i -2.0000 - 5.2915i 1.0000 根轨迹 （1）实轴上的根轨迹 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 （2）渐近线 根轨迹 （3）分离点 d1=0.467，-2.62