西工大、西交大自动控制原理 4.1 根轨迹法的基本概念1.ppt

闭环传递函数： 1、根轨迹概念 [例1] 设系统结构图为： 特征方程： 特征根： 开环传递函数： 1、根轨迹概念 当取不同K值时，闭环特征根如下： K 0 0 -2 0.5 -1 -1 1 -1+j -1-j 2 -1+j -1-j -1+j -1-j 1、根轨迹概念 K 0 0 -2 0.5 -1 -1 1 -1+j -1-j 2 -1+j -1-j -1+j -1-j 将这些闭环特征根按K增大的顺序标注在[s]平面上，连成光滑粗实线，就是根轨迹。 1、根轨迹概念 在光滑粗实线上的箭头方向表示K由0到无穷变化时， 闭环特征根(闭环极点)变化的趋势。 当系统的某个参数(例如开环增益K)由零到无穷大变化时，闭环特征根(闭环极点)在复平面上移 动的轨迹，简称根迹。 从已知的开环零、极点位置及某一参数变化求闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。 根轨迹 2、根轨迹与系统性能 K=0 时，两个特征根为：s1=0,s2=-2。系统不稳定。 K 0时，两个特征根都位于[s] 平面的左半平面。系统稳定。 稳定性 A 根轨迹与虚轴交点处的K，为临界开环增益。 2、根轨迹与系统性能 稳定性 A 当系统开环根轨迹增益由零到无穷变化时，根轨迹若进入了右半平面，则说明系统由稳定系统变为不稳定系统。 2、根轨迹与系统性能 稳态性能 B Ⅰ型系统 根轨迹上所对应的开环增益K 就是系统的静态速度误差系数。 2、根轨迹与系统性能 2、根轨迹与系统性能 稳态性能 B 若系统没有在坐标原点的开环极点，则系统为0型系统，根轨迹上所对应的开环增益就是系统的静态位置误差系数； 若系统有一个在坐标原点的开环极点，则系统为I型系统，根轨迹上所对应的开环增益就是系统的静态速度误差系数。 因而即可根据根轨迹图，按对给定系统的稳态误差要求，确定出闭环极点位置的允许范围。 动态性能 C 0 K 0.5，闭环极点位于负实轴上，系统为过阻尼系统 。 K = 0.5，闭环极点重合，系统为临界阻尼； K 0.5，两个负实部的共轭复根，系统为欠阻尼系统，系统超调量随 K 增大而增大，调节时间随 K 的变化不明显。？？ 2、根轨迹与系统性能 2、根轨迹与系统性能 系统的根轨迹设计 D 根据规定的系统性能指标要求，利用根轨迹去合理地安排开环零、极点的位置，并适当调整开环增益值。 分析系统的性能 利用根轨迹，可以： A 确定系统的结构和参数 B 对系统进行校正 C 方便地求解高阶代数方程的根 D 2、根轨迹与系统性能 一种由(系统的结构、参数)开环传递函数求闭 环特征根的简便方法。它是一种用图解方法(不直 接计算根轨迹)表示特征根与系统参数的全部数值 关系的方法。 1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。 根轨迹法的任务 已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法 确定闭环极点。 根轨迹法 2、根轨迹与系统性能 根轨迹法 分析和设计线性定常系统的图解法。 2、根轨迹与系统性能 3、闭环零极点与开环零极点的关系 设控制系统结构图如图所示 在一般情况下，系统前向通道传递函数和反馈通道传递函数可分别表示为： 3、闭环零极点与开环零极点的关系 其中 ： 为前向通道增益。 为前向通道根轨迹增益 反馈通道根轨迹增益 3、闭环零极点与开环零极点的关系 系统的开环传递函数为 为开环根轨迹增益 系统的闭环传递函数为 3、闭环零极点与开环零极点的关系 前向通道传递函数 反馈通道传递函数 开环传 递函数 闭环传 递函数 3、闭环零极点与开环零极点的关系 结论： A 闭环零点由开环前向通道零点和反馈通道的极 点组合而成。对单位反馈系统，闭环零点就是 开环零点。所以闭环零点很容易确定。 B 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道根轨 迹增益 ；当 时，对于单位反馈系统， 闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益 3、闭环零极点与开环零极点的关系 结论： 闭环极点与开环零点、开环极点及开环根轨 迹增益均有关。 C 如何由已知的开环零极点的分布以及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数便不难求解。闭环系统的时间响应，可利用拉氏变换法求出，或利用计算机算出。 根轨迹法的基本任务 4　根轨迹方程 系统开环传递函数为 所以，负反馈系统的闭环特征方程为 也可写成： 或： 上式称为根轨迹方程。 4　根轨迹方程 根轨迹方程： 或： 中： 为已知的开环零点，