第8届全国大学生数学竞赛（非数学类)预赛试卷及答案.docx

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第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案

省市学校准考证

省市学校准考证号姓名考场号座位号

绝密?启用前(14金融工程-白兔兔)

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分

题号

一

二

三

四

五

六

总分

满分

30

14

14

14

14

14

100

得分

注意：1:所有答题都须写在试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效:2:密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记:

3:如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号:一(填空题,本题满分30分,共5小题,每小题6分)

1.若在点x=a可导,且f0,则n

1.

解

2.

2.

解

3.设f(x)有连续导数=2.记z=f,若=z,则当x0,

f(x)=

第1页,共6页

第2页,共6页

解由题设得exy=f,令u=exy2,

得到当u0有f′,即,从而

所以有lnf(u)=lnu+C1,f(u)=Cu.再而由初始条件得f(u)=2u故当x0有f(x)=2x

4.设f(x)=exsin2x,则f(4)(0)=解由Taylor展开式得

所以f(x)展开式的4次项3×x+=?x4,从而,

故f(4)(0)=24

5.曲面z=平行于平面2x+2y?z=0的切平面方程为

解该曲面在点(x0,y0,z0)的切平面的法向量为(x0,2y0,?1)。又该切平面于

已知平面平行，从而两平面法向量平行，故从而x0=2,y0=1,得z0=从而所求切平面为

2(x?2)+2(y?1)?(z?3)=0

即

2x+2y?z=3

二(本题满分14分)

设f(x)在[0,1]可导,f(0)=0,且当x∈(0,1),0f′(x)1.

试证当a∈(0,1)f(x)dx)2f3(x)dx.

证明设F(x)=f(t)dt)2?f3(t)dt,则F(0)=0且要证明F′(x)0设g(x)=2f(t)dt?f2(x),则F′(x)=f(x)g(x)

由于f(0)=0,f′(x)0,故f(x)0,从而只要证明g(x)0,x0

而g(0)=0,我们只要证明g′(x)0,0xa而g′(x)=2f(x)[1?f′(x)]0,得证

省市

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