第4届全国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类）.docx

2012年全国大学生数学竞赛数学类试题

1、(15分)设Γ为椭圆抛物面z=3x2+4y2+1,从原点作Γ的切平面,求切锥面方程。

2、(15分)设Γ为抛物线,P是与焦点位于抛物线同侧的一点,过P的直线与Γ围成的有界区域的面积记为A(L)。证明:A(L)取最小值当且仅当P恰为L被Γ所截出的线段的中点。

3、(10分)设f∈C1[0,∞),f(0)0,f’(x)≥0,对任意x∈[0,∞),若

+∞,求证:+∞。

4、(10分)设A,B,C,均为实n阶正定矩阵,P(t)=At2+Bt+C,f(t)=detP(t),其中t为未定元,detP(t)表示P(t)的行列式,若λ为f(t)的根,证明:λ的实部为负数。

aixi,|x|1,n是正整数,求

6、(15分)设f:[0,1]→R可微,其中R为实数集,已知f,且dx=0,

且对任意x∈[0,1],有f(x)≠1,求证:对任意正整数n,有|

7、(25分)已知实矩阵,证明:

(1)矩阵方程AX=B有解但BY=A无解的充要条件是

(2)A相似于B的充要条件是

(3)A合同于B的充要条件是