第2届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）.docx

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封

密

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类，2010）

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.

题号

一

二

三

四

五

六

总分

满分

25

15

15

15

15

15

100

得分

注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.

得

得分

评阅人

一、（本题共5小题，每小题各5分，共25分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.

(1)设xn=(1+a).(1+a2)…(1+a2n)，其中|a|1，求limxn.n→∞

(2)求.

(3)设s0，求In=e?sxxndx

(4)设函数f(t)有二阶连续导数求.

(5)求直线l1与直线的距离.

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二、（本题共

二、（本题共15分）设函数f(x)在(?∞,+∞)上具有二阶导数，

并且=α0，=β0，且存在一

得分

评阅人

点x0，使得f(x0)0.证明：方程f(x)=0在(?∞,+∞)恰有两个实根.

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三、（本题共15分）设函

三、（本题共15分）设函数y=f(x)由参数方程

得分

评阅人

二阶导数，曲线y=Ψe?u2du+在t=1处相切.求函数Ψ(t).

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得分

评阅人

四、（本题共15分）设

an0，，证明：

当α1时，级数收敛；

当α≤1，且Sn→∞时，级数发散.

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线

封

密

.

得分评阅人五、（本题共15分）设l是过原点、方向为(α,β,γ)（其中α2+β2+γ2=

得分

评阅人

≤1（其中0cba，密度为1）绕l旋转.

(1)求其转动惯量；

(2)求其转动惯量关于方向(α,β,γ)的最大值和最小值.

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得分评阅人六、（本题共15分）设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线

得分

评阅人

的值为常数.

(1)设L为正向闭曲线2+y2=1.证明:

(2)求函数?(x)；

(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.