第6届全国大学生数学竞赛预赛数学类答案.docx

第六届中国大学生数学竞赛预赛试卷

(数学类,2014年10月)

,考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分

,

姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业

姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:

题号

一

二

三

四

五

六

总分

满分

15

15

15

15

20

20

100

得分

注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.

2.

2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.·

3.

3.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.

密封线答题时不要超过此线,一、(本题15分)已知空间的两条直线

密封线答题时不要超过此线

,

l1:

l2:

1)证明l1和l2异面;

2)求l1和l2公垂线的标准方程;

3)求连接l1上的任一点和l2上的任一点线段中点的轨迹的一般方程

又(1)证明:l1上有点r1=(4,3,8),方向向量为v1=(1,-2,1)l2上有点r2=(-1,-1,-1),方向向量为v2=(7,-6,1)

又

,

,

0,

故l

故l1和l2异面(3分)

(2)l1上的任一点P1=r1+t1v1与l2上的任一点P2=r2+t2v2的连线的方向向

量为

,=(-5+7t2-t1,-4-6t2+2t1,-9+t2-t1).公垂线的方向向量为

,

——→由P1P2与v

——→

(—5+7t2—t1):(—4—6t2+2t1):(—9+t2—t1)=4:6:8

得

t1=—1,t2=0.

故点r2+0v2=(—1,—1,—1)在公垂线上?从而公垂线的标准方程为

(9分)

(9分)

(3)P1=r1+t1v1与P2=r2+t2v2的中点为

因此中点轨迹为一个平面?平面的法向量为

v=v1×v2=(4,6,8).

(15分)又点,2,7)在平面上?故轨迹的方程为4x+6y+8z—40=0.

(15分)

二、(本题15分)设f∈C[0,1]是非负的严格单调增函数

1)证明:对任意n∈N?存在唯一的xn∈[0,1]?使得

(f(xn))n=(f(x))ndx.

2)证明:limn→∞xn=1.

证明

证明:1)

f(0)n≤(f(x))ndx≤f(1)n,

由连续函数的介值性质得到xn的存在性(3分)

由于f是严格单调函数?xn是唯一的(5分)

2)对任意的小∈0,由f的非负性和单调性?

故

f(xn)≥√n∈f(1—∈),

从而

liff(xn)≥f(1—∈).

由f的单调性,

lifxn≥1—∈.

,由∈的任意性,limxn=1.(15分)

,

三、(本题15分)设V为闭区间[0,1]上全体实函数构成的实向量空间,其中

姓名:准考证号