第6届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)答案.docx
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2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案一填空题(共有5小题,每小题6分,共30分)
(1)已知y1=ex和y2=xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是.
答案:y¢¢(x)-2y¢(x)+y(x)=0
[参考解答]由题设知该方程的特征方程有二重根r=1,故所求微分方程是y¢¢(x)-2y¢(x)+y(x)=0.
(2)设有曲面S:z=x2+2y2和平面L:2x+2y+z=0,则与L平行的S的切平面方程是.
答案:2x+2y+z+
[参考解答]设P0(x0,y0,z0)为S上一点,则S在P0的切平面方程是
-2x0(x-x0)-4y0(y-y0)+(z-z0)=0.
由于
由于该切平面与已知平面L平行,则(-2x0,-4y0,1)平行于(2,2,1),故存在常数k≠0使得
,从而k=1.故得x0=-1这样就有所求切面方程是
答案:y¢=3(3)设函数y=y(x)由方程sin2所确定,求x=0=
答案:y¢=3
[参考解答]易知在y(0)=1.对方程的两边关于x求导,得1=sin2于是y¢=c+1,把x=0代入上式,得y¢=3.
设xn=,则xn=___________.
答案:1
[参考解答]xn=
2
已知=e3则=.
答案:2
[参考解答]由=e3知=3,于是有=3+a,
其中,即有从而
二(本题满分12分)设n为正整数,计算I=
[参考解答与评分标准]
…….
…….…..(6分)
………………(12分)令lnx=u,则有sinusintdt=4nsintdt
………………(12分)
三(本题满分14分)设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数,且有正常数A,B使得|f(x)|≤A,|f(x)|≤B.
证明:对任意,有|f¢|≤2A+.
[参考解答与评分标准]由泰勒公式,有
上述两式相减=-f¢于是由条件≤B,得到|f(x)|≤A,
上述两式相减=-f¢于是
由条件
≤B,得到
因x2+(1-x)2=2x2-2x+1在[0,1]的最大值为1,故
……….(5分)
…………(8分)
……….(11分)
………..(14分)
四(本题满分14分)(1)设一球缺高为h,所在球半径为R.证明该球缺的体积为球冠
的面积为2πRh.
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R2sinθdθ=2pR2=2pRh.…………(6分)(2)记球缺Ω的底面圆为P1,方向指向球缺外,且记J=xdydz+ydxdy.由
R2sinθdθ=2pR2=2pRh.…………(6分)
(2)记球缺Ω的底面圆为P1,方向指向球缺外,且记J=xdydz+ydxdy.由Gauss公式,有
[参考解答与评分标准](1)设球缺所在的球体表面的方程为x2+y2+z2=R2,球缺的中心线为z轴,
且设球缺所在圆锥顶角为2a.记球缺的区域为Ω,则其体积为
由于球面的面积微元是dS=R2sinθdθ,故球冠的面积为
……(3分)
I+J=………….(9分)
其中v(Ω)为Ω的体积.由于平面P的正向单位法向量故
其中s(P1)