第6届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）答案.docx

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2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案一填空题(共有5小题,每小题6分,共30分)

（1）已知y1=ex和y2=xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.

答案:y￠￠(x)-2y￠(x)+y(x)=0

[参考解答]由题设知该方程的特征方程有二重根r=1，故所求微分方程是y￠￠(x)-2y￠(x)+y(x)=0.

（2）设有曲面S:z=x2+2y2和平面L:2x+2y+z=0,则与L平行的S的切平面方程是.

答案:2x+2y+z+

[参考解答]设P0(x0,y0,z0)为S上一点,则S在P0的切平面方程是

-2x0(x-x0)-4y0(y-y0)+(z-z0)=0.

由于

由于该切平面与已知平面L平行,则(-2x0,-4y0,1)平行于(2,2,1),故存在常数k≠0使得

,从而k=1.故得x0=-1这样就有所求切面方程是

答案:y￠=3（3）设函数y=y(x)由方程sin2所确定，求x=0=

答案:y￠=3

[参考解答]易知在y(0)=1.对方程的两边关于x求导，得1=sin2于是y￠=c+1，把x=0代入上式，得y￠=3.

设xn=，则xn=___________.

答案：1

[参考解答]xn=

2

已知=e3则=.

答案:2

[参考解答]由=e3知=3,于是有=3+a,

其中，即有从而

二(本题满分12分)设n为正整数,计算I=

[参考解答与评分标准]

…….

…….…..(6分)

………………(12分)令lnx=u,则有sinusintdt=4nsintdt

………………(12分)

三(本题满分14分)设函数f(x)在[0，1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得|f(x)|≤A,|f(x)|≤B.

证明：对任意，有|f￠|≤2A+.

[参考解答与评分标准]由泰勒公式，有

上述两式相减=-f￠于是由条件≤B，得到|f(x)|≤A,

上述两式相减=-f￠于是

由条件

≤B，得到

因x2+(1-x)2=2x2-2x+1在[0,1]的最大值为1,故

……….(5分)

…………(8分)

……….(11分)

………..(14分)

四(本题满分14分)(1)设一球缺高为h，所在球半径为R.证明该球缺的体积为球冠

的面积为2πRh.

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R2sinθdθ=2pR2=2pRh.…………(6分)(2)记球缺Ω的底面圆为P1，方向指向球缺外，且记J=xdydz+ydxdy.由

R2sinθdθ=2pR2=2pRh.…………(6分)

(2)记球缺Ω的底面圆为P1，方向指向球缺外，且记J=xdydz+ydxdy.由Gauss公式,有

[参考解答与评分标准](1)设球缺所在的球体表面的方程为x2+y2+z2=R2，球缺的中心线为z轴，

且设球缺所在圆锥顶角为2a.记球缺的区域为Ω,则其体积为

由于球面的面积微元是dS=R2sinθdθ,故球冠的面积为

……(3分)

I+J=………….(9分)

其中v(Ω)为Ω的体积.由于平面P的正向单位法向量故

其中s(P1)