第2届全国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类）.docx
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第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（数学类，2010）
姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100
姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
满分
10
15
10
10
15
20
10
10
100
得分
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.
2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
线
线
封
密
得分评阅人一、（本题共10分）设ε∈(0,1)，x0=a，xn+1=a+εsin
得分
评阅人
（n=0,1,2…).证明ξ=limxn存在，且ξ为方程x?εsinx=a
n→+∞
的唯一根.
得分评阅人二、（本题共15分）设B=证明X2=B
得分
评阅人
解，这里X为三阶未知复方阵.
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得分评阅人三、（本题共10分）设D?R2是凸区域，函数f(x,y)是凸函数.证明或否定：f(x,y)在
得分
评阅人
注：函数f(x,y)为凸函数的定义是?α∈(0,1)以及(x1,y1),(x2,y2)∈D，成立f(αx1+(1?α)x2,αy1+(1?α)y2)≤αf(x1,y1)+(1?α)f(x2,y2).
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姓名：
姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：
线封
线
封
密
得分评阅人四、（本题共10分）设f(x)在[0,1]上Riemann可积，在
得分
评阅人
可导=0,f′=a.证明：dx=?a.
得分评阅人五、（本题共15分）已知二次曲面Σ（非退化）过以下九点：A(1,0,0),B(1,1,2),C(1,?1,?2),D(3,0,0),E(3,1,2),F(3,?2,
得分
评阅人
G(0,1,4),H(3,?1,?2),I(5,22,8).问Σ是哪一类曲面？
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得分评阅人六、（本题共20分）设A为n×n实矩阵（未必对称），对任一n维实向量α=(α1,…,αn),αAαT≥0（这里αT表示
得分
评阅人
且存在n维实向量β使得βAβT=0.同时对任意n维实向量x
和y，当xAyT≠0时有xAyT+yAxT≠0.证明：对任意n维实向量v，都有vAβT=0.
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姓名：
姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：
线封
线
封
密
得分评阅人七、(本题共10分)设f在区间[0,1]上Riemann可积，0≤f≤1.求证：对任何ε0
得分
评阅人
为0和1的分段（段数有限）常值函数g(x)，使得?[α,β]?[0,1]，
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八、
八、(10分)已知φ:(0,+∞)→(0,+∞)是一个严格单调
下降的连续函数，满足且
得分
评阅人
dt=a+其中φ?1表示φ的反函数.求证：2dt+2dt≥