第5届全国大学生数学竞赛预赛数学类答案.docx

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第五届中国大学生数学竞赛预赛试卷

(数学类,2013年10月)

,考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分

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一、(本题15分)平面R2上两个半径为r的圆C1和C2外切于P点.将圆C2沿C1的圆周(无滑动)滚动一周,这时,C2上的P点也随C2的运动而运动.记Γ

为P点的运动轨迹曲线,称为心脏线.现设C为以P的初始位置(切点)为圆心的圆,其半径为R.记√:R2∪{∞}→R2∪{∞}为圆C的反演变换,它将Q∈R2\{P}

证明以C1的圆心O为原点建立直角坐标系,使得初始切点P=(0,r).将圆映成射线PQ上的点Q,,满足P—·

证明以C1的圆心O为原点建立直角坐标系,使得初始切点P=(0,r).将圆

C2沿C1的圆周(无滑动)滚动到Q点,记角\POQ=θ,则Q=(rsinθ,rcosθ).令lQ为C1在Q点的切线,它的单位法向为n→=(sinθ,cosθ).这时,P点运动到P

密封线答题时不要超过此线

密封线答题时不要超过此线

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关于直线lQ的对称点P,=P(θ)处.于是,有-

O—,=O—+P—,=O——2(Q—·n)→n→.(5分)

故

故P点的运动轨迹曲线(心脏线)为

P(θ)=P,=(2r(1—cosθ)sinθ,r+2r(1—cosθ)cosθ),0≤θ≤2π.(8分)

容易得到,圆C的反演变换的坐标表示为

(11分)

将(x,y)=P(θ)代人,得到

,

(13分)

直接计算,得到抛物线方程(15分)

直接计算,得到抛物线方程

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二、(本题10分)设n阶方阵B(t)和n×1矩阵b(t)分别为B(t)=(bij(t))

和,其中bij均为关于t的实系数多项式,i,j=1,2,···,n.记

d(t)为B(t)的行列式,di(t)为用b(t)替代B(t)的第i列后所得的n阶矩阵的行列式.若d(t)有实根t0使得B(t0)X=b(t0)成为关于X的相容线性方程组,试证明:d(t),d1(t),···,dn(t)必有次数1的公因式.

证明设B(t)的第i列为Bi(t),i=1,2,···,n.断言:t—t0是d(t),d1(t),···,dn(t)

的公因式.反证.不失一般性,设d1(t0)0,于是

秩[B(t0),b(t0)]=n,因为d1(t0)0.(5分)

注意到秩B(t0)≤n—1,结果

增广阵[B(t0),b(t0)]的秩B(t0)的秩,