第1届全国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类）.docx

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷

（数学类，2009）

一、求经过三平行直线

L1:x=y=z，L2:x?1=y=z+1，L3:x=y+1=z?1的圆柱面的方程.

二、设Cn×n是n×n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，

假设A=，若AF=FA，证明：

A=an1Fn?1+an?11Fn?2+…+a21F+a11E.

（2）求Cn×n的子空间C(F)={X∈Cn×n|FX=XF}的维数.

三、假设V是复数域C上n维线性空间（n0），f,g是V上的线性变换.如果fg?gf=f，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.

四、设{fn(x)}是定义在[a,b]上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[a,b]上满足

fn(x)≤M.（1）证明{fn(x)}在[a,b]上一致收敛；（2）记是否一定在[a,b]

上处处可导，为什么?

五、设an=，证明发散.

六、f(x,y)是{(x,y)|x2+y2≤1}上二次连续可微函数，满足=x2y2，计算积分

七、假设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,f(0))，与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0c1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ,使f′′(ξ)=0.