第3届全国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类）.docx

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第三届全国大学生数学竞赛数学类预赛试卷

(数学类,2011

一(本题15分)已知四点A(1,2,7),B(4,3,3),C(5,?1,6),D(√7,√7,0).试求过这四点的球面方程

二(本题10分)设f1,f2,···,fn为[0,1]上的非负连续函数.求证:存在ξ∈[0,1],使得

三(本题15分)设Fn是数域F上的n维列空间,σ:Fn→Fn是一个线性变

换若?A∈Mn(F),σ(Aα)=Aσ(α),(?α∈V),证明:σ=λ·idFn,其中λ是F中某个数,idFn表示恒同变换

四(本题10分)对于△ABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值

五(本题15分)对于任何实数α,求证存在取值于{?1,1}的数列{an}n≥1满足

六(本题20分)设A是数域F上的n阶方阵.证明A相似于其中

B是可逆矩阵,C是幂等阵,即存在m使得Cm=0.

七(本题15分)设F(x)是[0,+∞)上单调递减函数,limx→+∞F(x)=0,且

limx→+∞∞dt=0.证明:

(i)limx→+∞xF(x)=0,(ii)limx→0∞F(t)sin(xt)dt=0.