第2届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案（数学类）.docx

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第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案

(数学类)

一、(10分)设ε∈(0,1),x0=a,xn+1=a+εsinxn(n=0,1,2,...).证明:

∞xn存在,且ξ为方程x?εsinx=a的唯一根.

证明:注意到|(sinx)9|=|cosx|≤1,由中值定理,我们有|sinx?siny|≤|x?y|,?x,y∈R.

...........................................(2分)

所以

|xn+2?xn+1|=|ε(sinxn+1?sinxn)|≤ε|xn+1?xn|,n=0,1,2,....

...........................................(4分)

从而可得

|xn+1?xn|≤εn|x1?x0|,?n=0,1,2,....

于是级数绝对收敛,从而ξ=n∞xn存在.

........................................(6分)

对于递推式xn+1=a+εsinxn两边取极限即得ξ为x?εsinx=a的根.

........................................(8分)

进一步,设η也是x?εsinx=a,即η?εsinη=a的根,则|ξ?η|=ε|sinξ?sinη|≤ε|ξ?η|.

所以由ε∈(0,1)可得η=ξ.即x?εsinx=a的根唯一.证毕

.......................................(10分)

2

复方阵.二、(15分)设B=.证明X2=B无解,这里X为三阶未知

复方阵.

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证明:反证法.设方程有解,即存在复矩阵A使得A2=B.

........................................(2分)

我们注意到B的特征值为0,且其代数重数为3.

........................................(4分)

设λ为A的一个特征值,则λ2为B的特征值.所以λ=0.从而A的特征值均为0.

........................................(6分)

于是A的Jordan标准型只可能为,J2=或

.......................................(10分)

从而A2的Jordan标准型只能为J1=J或J2=J.

.......................................(12分)

因此A2的秩不大于1,与B=A2的秩为2矛盾.所以X2=B无解.证毕.

.......................................(15分)

2

三、(10分)设D?R2是凸区域,