第2届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案（非数学类）.docx

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第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准

(非数学类，2010)

一(本题共5小题，每小题5分，共25分)、计算下列各题(要求写出重要步骤).

(1)设x,=(1+a)·(1+a2)…(1+a2),

解将x,恒等变形

其中|ak1,

(2)求

解

由于|ak1,可知,从而

(3)设s0,求解因为s0时，,所以，

由此得到，

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(4)设函数f(t)有二阶连续的导数，r=√x2+y2,,求

解因；,所以

利用对称性，

(5)求直：与直线l?的距离.

解直线l?的对称式方程为记两直线的方向向量分别为

Z=(1,1,0),T?=(4,-2,-1),两直线上的定点分别为P(0,0,0)和P?(2,1,3),

a=PP?=(2,1,3).

Z×Z?=(-1,1,-6).由向量的性质可知，两直线的距离

二(本题共15分)、设函数f(x)在(-0,+)上具有二阶导数，并且

f(x)0,,且存在一点x。,使得f(x?)0.证明：方程f(x)=0在(-0,+0)恰有两个实根.

证1.由必有一个充分大的ax。,使得f(a)0.

f(x)0知y=f(x)是凹函数，从而f(x)f(a)+f(a)(x-a)(xa)

当x→+0时，f(+0)+f(a)(x-a)→+00.

故存在ba,使得

f(b)f(a)+f(a)(b-a)0………………(6分)

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同样，由,必有cx?,使得f(c)0.

f(x)0知y=f(x)是凹函数，从而f(x)f(c)+f(c)(x-c)(xc)

当x→-时，f(-o)+f(c)(x-c)→+00.

故存在dc,使得

f(d)f(c)+f(c)(d-c)0……(10分)在[x,b]和[d,x?]利用零点定理，3x?∈(x?,b),x?∈(d,x?)使得f(x?)=f(x?)=0……(12分)下面证明方程f(x)=0在(-0,+o)只有两个实根.

用反证法.假设方程f(x)=0在(-0,+0)内有三个实根，不妨设为x?,x?,x?,

且x?x?x?.对f(x)在区间[x?,x?]和[x?,x?]上分别应用洛尔定理，则各至少存在一点ξ(x?ξx?)和ξ?(x???x?),使得f(ξ)=f(S?)=0.再将f(x)在区间[S,S?]上使用洛尔定理，则至少存在一点η(Gηξ?),使

f(η)=0.此与条件f(x)0矛盾.从而方程f(x)=0在(-0,+0)不能多于两

个根.…(15分)

证2.先证方程f(x)=0至少有两个实根.

由,必有一个充分大的ax。,使得f(a)0.

因f(x)在(-00,+0)上具有二阶导数，故f(x)及f(x)在(-00,+∞)均连续.由拉格朗日中值定理，对于xa有

f(x)-[f(a)+f(a)(x-a)]=f(x)-f(a)-f(a)(x-a)]

=f(ξ)(x-a)-f(a)(x-a)=[f(ξ)-f(a)](x-a)

=f(7)(ξ-a)(x-a).

其中aξx,aηx.注意到f(η)0(因为f(x)0),则

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f(x)f(a)+f(a)(x-a)(xa)

又因f(a)0,故存在ba,使得

f(b)f(a)+f(a)(b-a)0………………(6分)

又已知f(x?)0,由连续函数的中间值定理，至少存在一点x?(x?x?b)使得