西工大、西交大自动控制原理 第二章 拉式变换复习.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第二章 控制系统的数学模型 * 拉氏变换 傅里叶变换(傅氏变换)和拉普拉斯变换(拉氏变换)是求解线性常微分方程的简便工具，也是建立系统复数域和频率域数学模型——传递函数和频率特性的数学基础。 周期函数的傅里叶级数(傅氏级数)是由正弦和余弦项组成的三角函数。 傅里叶级数 周期为T的任一函数 f (t) ,满足下列狄里赫特条件： 在一个周期内只有有限个不连续点； 在一个周期内只有有限个极大和极小值； 积分 存在 则 可展开成如下的傅氏级数： 傅里叶级数 周期函数 的傅氏级数还可写成复数形式(指数形式)： 傅里叶级数 欧拉公式 对于非周期函数，周期 T 为无穷大，不能直接用傅氏级数展开式，必须进行修改，因而引入傅里叶积分式。 傅里叶积分和傅里叶变换 傅里叶积分 ( ) ( ) w p d e d 2 1 t j ω t j ω t e t f t f ò ò +￥ ￥ - - +￥ ￥ - ú ? ù ê ? é = 傅里叶级数 对于非周期函数，周期 T 为无穷大，不能直接用傅氏级数展开式，必须进行修改，因而引入傅里叶积分式。 傅里叶积分和傅里叶变换 傅氏变换 F 傅氏反变换 F 傅里叶积分 傅里叶积分和傅里叶变换 非周期函数必须满足狄里赫莱条件才可进行傅氏变换，且第三条件必须修改为积分 存在。 不存在怎么办? 例如：单位阶跃函数 无法计算出来，是因为单位阶跃函数不满足 拉氏变换的引入 中的被积函数　　乘以收敛因子 ，并将 积分区间限定在　　　，以保证积分变换 　　对傅立叶变换 成立。此时对函数　　　的研究变为对　　的 广义函数 在时间域　　　的研究。 广义单边傅里叶变换 例如：单位阶跃函数 拉氏变换的定义 则： 记 并记 拉氏变换的实质： 函数　　　的广义函数 在时 间域 的单边傅立叶变换。 拉氏反变换 傅立叶反变换 （拉氏反变换） 拉氏变换举例 例：求单位阶跃函数 1 (t) 的拉氏变换 解： L 例：求指数函数 的拉氏变换 解： L 拉氏变换举例 例：求正弦函数 的拉氏变换 解： L 拉氏变换举例 例：求单位脉冲函数 的拉氏变换 解：将 代入F(s)可得: L 拉氏变换的积分下限 一般均指拉氏变换的积分下限为0-。 目的：包含在 t=0 时刻有无穷跳跃的函数的跃变区间。 拉氏变换的性质 (1)线性性质 例： 拉氏变换的性质 (2)微分定理 (3)积分定理 是 在 t =0 时的值 拉氏变换的性质 (4)初值定理 设函数 f (t) 及其一阶导数的拉氏变换均存在，则 函数 f (t) 的初值为 即函数 f (t) 在自变量从正向趋于零时的极限，取 决于 F(s) 在自变量趋于无穷大时的极限。 拉氏变换的性质 (5)终值定理 设函数 f (t) 及其一阶导数的拉氏变换均存在，则 函数 f (t) 的终值为 即函数 f (t)在自变量趋于无穷大时的极限，取 决于F(s)在自变量趋于零时的极限。 注意：对于周期函数，终值定理不适用 拉氏变换的性质 (6)位移定理 当 f (t) 沿时间轴平移 τ0 时，相当于F(s)乘以 当F(s)位移 a 时，相当于 f (t) 乘以 实域位移定理 复域位移定理 拉氏变换的性质 (7)相似定理 (8)卷积定理 拉氏变换的性质 拉氏变换的性质 (9) 证：由莱布尼兹法则： * * * * 第二章 控制系统的数学模型 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *