西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学之数理统计 点估计.ppt

五、小结 估计量的评选的三个标准 无偏估计 最小方差无偏估计 相合估计 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的. 由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准. ), , , , ( ? 2 1 n x x x L q , , , , ? x x x q 2 1 n L 记为 有关 与样本值 这样得到的 最大似然法的基本概念 似然函数 例3 设总体X服从参数为 的泊松分布, 是一个样本，求参数 的最大似然估计。 解： X的分布律为 这一估计量与矩估计量是相同的。 解似然方程 得 的最大似然估计值 相应的最大似然估计量为 解 似然函数 例4 这一估计量与矩估计量是相同的. 似然函数的定义 　　　未知。现在进行五次测量，测量值为 引例2　用一台仪器测量某物体的长度，假定测量得到的长度　服从正态分布　　　　，其中 试估计参数　　　。 53.2　52.9 53.3 52.8 52.5（单位：mm） 解 似然函数为 求最大似然估计量的步骤: 最大似然估计法是由费舍尔引进的. （二）求解 解：似然函数为 对数似然函数为 例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 求 的极大似然估计. 其中 0, 求导并令其为0 =0 从中解得 即为 的MLE . 对数似然函数为 解 例6 最大似然估计的性质 设 的函数g=g( )是 上的实值函数, 且有唯一反函数 . 如果 是 的MLE，则 g( )也是g( )的最大似然估计. 例7　设某元件失效时间服从参数为 的指数分布 其密度函数为 　为未知。现从中 抽取了n个元件测得其失效时间为 ，试 求 及平均寿命的最大似然估计。 2、求点估计的方法: 矩估计法 1、参数点估计问题的概念和数学描述 四、小结 3、常见几个分布的参数估计结论 最大似然估计法 一、问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那一个估计量好？好坏的标准是什么? 下面介绍几个常用标准. 第2.3节 估计量的评价标准 二、无偏性 无偏估计的实际意义: 无系统误差. 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 如果有的一列估计 ,满足关系式 则称 是 的渐近无偏估计（量）。 一个估计量如果不是无偏估计量，就称 这个估计量是有偏的，且称 为估计量 的偏差。 证 例1 特别地: 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在, 证 例2 (这种方法称为无偏化). 因为 例3证明题：设 是参数?的无偏估计且有 是否为?2的无偏估计？并证明你的结论。 答案： 不是?2的无偏估计 由已知 而 即 ， 问 不是?2的无偏估计 三、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好. 说明 最小方差无偏估计是一种最优估计. 定义 四、相合性 有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还希望当样本容量n充分大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性 （或一致性）概念。 定义6.6 设 是未知参数 估计序列，如果 依概率收敛于 ，即对任 ，有 定理6.2 设 是 的一个估计量，若 或 则 称是 的相合估计（量）（或一致估量）。 且 则 是 的相合估计（或一致估计）。 例5 若总体 的 和 存在,则样 本均值 是总体均值的相合估计. 解： 一般地,样本的 阶原点矩 是总体 的 阶原点矩 的相合估计.由此可见,矩 估计往往是相合估计. 一、参数点估计问题 设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参