西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 习题课.ppt

由条件概率的公式得 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作是相互独立的. (1) 求下列两个系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性； (2) 问：哪个系统的可靠性更大？ 例8 系统Ⅰ. 系统Ⅱ. 解 设 B1={ 系统Ⅰ正常工作} ① ② … n+2 2n n+1 … 1 2 n … n+2 2n n+1 1 2 n B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ： 设 C ={ 通路①正常工作 }， D={ 通路②正常工作 } ∵ 每条通路正常工作 通路上各元件都正常工作 而 系统Ⅰ正常工作 两条通路中至少有一条正常工作 ∴ 系统Ⅰ正常工作的概率： 考察系统Ⅱ： 系统Ⅱ正常工作 通路上的每对并联元件正常工作 B2={ 系统Ⅱ正常工作} 所以，系统Ⅱ正常工作的概率： (2) 问：哪个系统的可靠性更大？ 即系统Ⅱ的可靠性比系统Ⅰ的大. 经计算得 例9 解 例10 解 例11 解 伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别 记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立? 解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 因此 又由题意知 例12 故有 因此 A、B、C 不相互独立. 则三事件 A, B, C 两两独立. 由于 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少? 射击问题 例13 解 事件 B 为“击落飞机”, 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 例14 因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少? 解 例15 纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 , 已知一件音色 而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的 概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的, 于是有 En: 可看成将 E 重复了n次, 这是一个n重 贝努里试验. 解 例16 E ：观察1局比赛甲是否获胜 设在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为： “甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”; “甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”; ······ 如：比赛3局， “甲甲甲”； 比赛4局， 解 依题设， 例17 E：观察一个卵是否变成虫 En ：观察n个卵是否变成虫 En 可看成将 E 重复了n次, 这是一个贝努里试验. 依题设，P(A)= p 设 B={该蚕产了k只小蚕}，则由二项概率公式 得 ? ?)= 0 (n=0, 1, 2,···,k-1) P(B) 由贝叶斯公式，得 * * * 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 1. 随机现象 基本概念及公式 2. 随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现. 3.样本空间 样本点 对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E 的样本空间或必然事件，用? 或S表示 我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 ? 表示。 4.随机事件 随机试验 E 的样本空间 ? 的子集(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件. 5.随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间 子集 随机事件 必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件 6.概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论 样本空间，必然事件 空间 不可能事件 空集 基本事件 元素 随机事件 子集 A的对立事件 A的补