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西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第五章一维随机变量2.ppt

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解 则有实根的概率为 例3 分布函数 三、小结 2. 常见连续型随机变量的分布 均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量. 3. 正态分布是概率论中最重要的分布 另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布. 二项分布向正态分布的转换 * 解 例1 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量的分布密度 上节课内容复习 常见离散型分布 连续型随机变量的分布密度 二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布 概率密度 函数图形 分布函数 例2 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. X 的分布密度函数为 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 解 即 A={ X 3 }. 因而有 设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 2. 指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布. 应用与背景 分布函数 例3 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 ?=1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. X 的分布函数为 解 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. 3. 正态分布(或高斯分布) 正态概率密度函数的几何特征 正态分布的分布函数 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 标准正态分布的图形 解 例4 证明 解 例5 例6 证明 证明 解 例1 练习题 例2 故有 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 1.试验背景 贝努里试验:只有两个可能结果的随机试验。 n重贝努里试验:重复独立进行n次贝努里试验(n次重复独立试验)。 需要考察的问题:   在n重贝努里试验中某事件 恰好发生k次的概率应如何计算? 一、问题的思考 2.分布特性 贝努里试验:设试验E的两个可能结果为: 和 ,用随机变量 表示贝努里试验的结果,不妨设为0或1,即 则 的分布律为 一、问题的思考 称服从两点分布或0-1分布。 2.分布特性 n重贝努里试验:随机变量 表示n次重复独立贝努里试验中事件A发生的次数。设每次试验中事件A发生的概率为p(q=1-p) 一、问题的思考 则称 服从二项分布,记为 (2) 不难验证: (1) 2.分布特性 二项分布的曲线特点: 一、问题的思考 n=30,p=0.2  n=10,p=0.3   n=200,p=0.05 当k增加时,概率 先增加至最大值,随后单调减少 当(n+1)p不为整数时,二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值; ( [x] 表示不超过 x 的最大整数) n=10,p=0.7 n Pk 2.分布特性 一、问题的思考 当(n+1)p为整数时,二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值. n=13,p=0.5 Pk n 0 3.二项分布与两点分布的关系 (1)两点分布是二项分布的特例,即n=1时的情形。 一、问题的思考 (2)进一步的关系 若 ,且相互独立, ,则 结论:服从二项分布的随机变量可以表示成独立的 两点分布的随机变量之和。   二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布。 二、二项分布的计算 (续)对例1的解答:   设赌徒甲和赌徒乙,他们赢一局的概率分别为p和 q=1-p;X表示赌徒甲在4次试验中赢的次数,Y表示赌 徒乙在4次试验中赢的次数,则 故赌金应按15:1进行分配。 二、二项分布的计算 进一步的思考:(更一般的情形)   假设在某个
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