西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第四部分 随机变量的函数及其分布（答案）.doc

随机变量的函数及其分布 基础练习 填空 1. 设随机变量服从的均匀分布，则随机变量的概率密 度函数为　　　　　　　. 答案：； 2. 设随机变量，则概率 ＝ __________. 答案：0.1； 3. 设两个独立的随机变量和分别服从正态分布和，则 =________________. 答案：0.5； 4. 设和为随机变量，，， ， 则 . 答案：； 5. 设随机变量，且二次方程无实根的概率等于0.5， 则=________. 答案：4； 6. 设随机变量的方差为2，则根据切贝晓夫不等式有估计 ___________. 答案：； 7. 在区间中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为____________. 答案：； 8. 设是两个相互独立的随机变量，分别服从正态分布和，则___________. 答案：； 9. 设随机变量的概率分布为： -1 0 1 ，且满足，则=_________. 答案：； 10. 假设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数恰好有________个间断点. 答案：1； 计算题 1. 设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互独立，试求的密度函数. 答案：　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　 得z轴上的分界点０与２ 　　 　　　　　　　　 2. 设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量在区间上服从均匀分布，而且与独立，求的概率密度函数。 答案：解:由 及与独立得的联合密度函数为 则 3. 检验员逐个检查某种产品，每查一件花秒时间，有的产品可能要复查一次而再花秒时间。假定每一件产品需复查的概率为，求在小时内检验员能够至少检查件的概率。 附： 答案： 解：表示件的需复查数，则 设表示小时内检验员至少能检查件，则 4. 设随机变量的分布列为 求： (1)参数； (2)的分布列。 答案：（1）由 得； （2） 5．设随机变量与独立且均在区间上服从均匀分布，求： ； 答案：由题意， 且与独立， 故 6. 某工厂有100台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.2，假设各台机器工作是相互独立的，设一台机器需一人维修，为使机器发生故障时能及时维修的概率不低于90%，问至少应配备多少名维修工人。 答案：设应配备名维修工人，且某时刻有台机器发生故障， 则 令 由中心极限定理 查表得 ， 即至少应配备26名维修工人。 7. 设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度。 答案：解：二维随机变量的概率密度为 设为的分布函数，则 当时，；当时，。 当时， 。 则 8. 设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。 答案：解：设这批种子发芽数为，则，由中心极限定理得所求概率为 。 9. 设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 答案：解：设1000户居民每天用电量为度，则由中心极限定理得， ， 其中1000×10=10000，=。 再设供应站需供应L度电才能满足条件，则 即 ，则L=2426度。 10. 随机变量,求的分布函数与概率密度。 答案： 解：,且, , . 证明题 1. 设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明：仍服从泊松分布，参数为6. 答案：由题设 ，， ， 所以 仍服从泊松分布，参数为6. 2. 若随机变量?服从，试证：服从。 答案：对任何实数， 因而服从。 3. 已知随机变量与的关系是，其中，，且知在区间上均匀分布，求证：随机变量服从正态分布。 答案：函数的反函数为 ， 且 故，单调增。 又因，，知。 的概率密度为： 故，服从正态分布. 4. 设随机变量与相互独立，且在区间[0,6]上服从均匀分布，在[0,9]上服从均匀分布，求证：方程有两个不等实根的概率为。 答案：由题意知：的密度， 的密度，要方程有两个实根，必须满足： 。 自测题 填空题 1设服从均匀分布，则随机变量在(0，4)内的概率分布密度= 答案： 2设和为随机变量，且，，则 答案：； 3. 设随机变量在[0，1]上服从均匀分布，则的分布密度为 =______________. 答案： 4.设随机变量服从，则的概率密度是__________。