西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第五部分 随机变量的数字特征（答案）.doc

随机变量的数字特征 基础练习 填空 1. 已知，则________. 答案：1.16； 2. 设，且相互独立，则______. 答案：7.4； 3. 设的概率密度为，则____________. 答案：； 4. 掷一颗均匀的骰子600次，则出现“一点”次数的均值为________. 答案：100； 5. 设相互独立，且都服从参数为的泊松分布，若 ，则__________. 答案：10； 6. 设在上服从均匀分布，则___________. 答案：7； 7. 设相互独立，且，则______. 答案：13； 8. 设随机变量，，则___________. 答案：； 9. 已知服从分布率，则的数学期望__________. 答案：4； 10. 设随机变量服从泊松分布，且 答案：5； 计算题 1. 盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任取3个球，求取到白球数X的期望和方差. 答案： ； 2. 有一物品的重量为1克，2克，…，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码，甲组有5个砝码，分别是1、2、2、5、10克；乙组为1、1、2、5、10克；丙组为1、2、3、4、10克，现只准备用一组砝码在天的一个秤盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少？ 答案：丙； 3. 公共汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，该乘客不知发车时间，在每小时内的任意时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望. 答案：10分25秒； 4. 设排球队A和B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣布结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率均为，试求平均比赛几场才能分出胜负？ 答案：6 5. 设随机变量的概率密度函数为，试求出：（1）常数；（2）的数学期望与方差. 答案：解: 6. 假设有10只 同种电器元件，其中有2只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 答案：解：设表示取到正品之前已取出的废品数，其可能值为0，1，2 X 0 1 2 P 7. 对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间内，求圆面积的数学期望. 答案：解：设圆的直径为随机变量，面积为随机变量，则 随机变量的分布密度为 ，于是 8. 设随机变量的分布密度函数为 ， 随机变量，求的数学期望. 答案：解： 9. 一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为， 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。求厂方售出一台设备净赢利的数学期望. 答案：解：设表示售出一台设备净赢利，则 10. 设随机变量的概率密度为: ， 求和. 答案：解： 证明题 1. 设是一个随机变量，证明对任意常数，有. 答案：证明: 2. 若随机变量相互独立，且存在，试证明： 答案：证明： 3. 设随机变量的概率密度关于对称，且存在，证明：.答案：证明： 设的概率密度为，有，因此 4. 设是相互独立的随机变量，且，，记，证明： （1） （2）. 答案：证明：（1） （2） 自测题 填空题 1. 与独立，其方差分别为6和3，则等于_______. 答案：27； 2. 设，则___________. 答案：36； 3. 设随机变量服从参数为1的指数分布，则=_______. 答案：； 4已知随机变量服从上的均匀分布，则= . 答案：； 5已知随机向量的联合分布密度 则= . 答案：； 计算题 若连续型随机变量的密度函数的是： ， 求和. 答案：解：： 2. 设随机变量的密度函数为： ， 试求：（1）常数；（2）的数学期望和方差. 答案：解：（1）由密度函数的归一性： 得： （2）， 3. 设二维随机变量的联合密度函数为： 试求：的数学期望. 答案： 4. 随机变量只取共三个值，且相应概率之比为，又，求：（1）；（2）。 答案：（1）设，则， 所以，即. 的概率分布为 ： X -1 0 1 P 1/5 2/5 2/5 (2)的概率分布为 Y 0 1 P 2/5 3/5 5. 设平面上点的坐标为，其中，过点的直线与轴的夹角为，交轴于点，已知在上均匀分布，求面积的数学期望. 答案：解： 证明题 1. 设为取值于内的连续随机变量，证明：. 答