西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第三部分 二维随机变量（答案）.doc

二维随机变量 基础练习 填空 1设二维随机变量相互独立，且，， 则 。 答案：； 2若二维随机变量相互独立， 且都服从正态分布，则服从________。 答案：二维正态分布； 3若二维随机变量的联合分布密度为，则的边缘分布密度为___________。 答案：； 4. 是连续型随机变量X,Y相互独立的______条件. 答案：充要； 5. 已知随机变量的联合分布函数用它表示概率=__________________. 答案： 6. 设二维随机变量在由曲线和所围成的区域上服从均匀分布，则的联合概率密度_______________. 答案： 7. 若为随机变量的联合概率密度,则常数=__________. 答案： 8. 若的联合概率密度为则有=_______________. 答案： 9. 设互相独立，并服从区间上的均匀分布，且，则的联合概率密度为=_________. 答案： 10. 设随机变量的联合概率密度函数为： 则落在区域内的概率=____ ________________. 答案： 计算题 1. 假设某校学生的数学能力测试成绩与音乐能力测试成绩具有如下形式的概率密度函数: 试求：与，并判断与是否相互独立？ 答案：解: 故，与不独立. 2. 设随机变量与独立，且均在区间上服从均匀分布，求： 的值. 答案：由题意， 且与独立， 故 3. 设某昆虫的产卵数服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8，且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数与孵化为成虫数的联合分布律. 答案：解：本题已知随机变量的分布律为 , 由题意知，该昆虫下一代只数在的条件下服从参数为0.8的二项分布，故有 ， 由， 得的联合分布律为： ，. 4.设二维随机变量的概率密度为 , （1）确定常数的值; （2）是否相互独立?为什么? 答案：解：（1）,即 == . （2）, 即. 同理，, 即. 显然有 从而与不独立. 5. 已知相互独立，的分布律为：，，，，，，试求： (1)的值； (2)的边缘分布. 答案：(1)； （2）,, ，, 6. 设袋中有3个球，其标号为1，2，2，今从中不放回地任取2个球，记 为第1，2次抽得球的标号，试求： (1) 的联合概率分布律； (2) 的边缘分布律. 答案：(1)0，1/3，1/3，1/3；(2)1/3，2/3；1/3，2/3. 7. 设的联合密度为 求参数的值； 求与的边缘密度函数. 答案：解：（1）由，可得. (2) 8. 已知随机向量的联合概率分布为 Y X －1 0 1 －1 0.3 0 0.3 1 0.1 0.2 0.1 （1）求的边缘分布；（2）判断与是否独立. 答案：解：（1） ∴综合有下表 Y X －1 0 1 －1 0.3 0 0.3 0.6 1 0.1 0.2 0.1 0.4 0.4 0.2 0.4 （2），不独立。 9. 已知，令： 试求的联合分布律. 答案：由,知 即，故与是互相独立的. 的联合分布律为： 1 2 10. 设随机变量的联合分布函数为: (常数均为正数)，求其联合概率密度. 答案： 证明题 1. 设随机变量服从标准正态分布，即，且， 证明：Y的密度函数为 答案：的密度函数为： ，则 当时， 当时， = 所以， 2. 若，且,验证：函数 是某个随机变量的联合概率密度. 答案：由及的定义知: = 其中,令. 3. 设随机变量是单点分布,(是常数)，而是任意随机变量，证明随机变量与必相互独立. 答案：(1)当时, 故，； 当时,有 综合(1)(2),对任意均有， 所以，与相互独立。 4. 设某种商品一周的需求量是一随机变量，密度函数为: 设各周的需求量相互独立，求证：两周需求量的密度函数为： 。 答案：设为第周需求量，则两周的需求量的密度函数为： 即， 。 自测题 填空题 1. 若随机变量与相互独立，且X服从正态分布Y服从正态分布，则服从_______分布 答案：； 2. 设与的联合分布密度，则 =________________. 答案：； 3. 若与的联合概率密度为则有=______________. 答案：； 4. 设，且与服从B上均匀分布，则=_______________. 答案：； 5. 若为随机变量与的联合概率密度,则常数=__________. 答案： 计算题 1. 二维随机变量的概率密度为 ， 求：的边缘概率密度，并判断和的独立性。 答案：解：（1） 类似的，， ， 2. 袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数学1，2，2，3，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X，Y的边缘分布；（3）判断X与Y是否独立。 答