西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计第二章参数估计.ppt

(这种方法称为无偏化). 三、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好. 说明 最小方差无偏估计是一种最优估计. 定义 四、相合性 有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还希望当样本容量n充分大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性 （或一致性）概念。 定义6.6 设 是未知参数 估计序列，如果 依概率收敛于 ，即对任 ，有 定理6.2 设 是 的一个估计量，若 或 则 称是 的相合估计（量）（或一致估量）。 且 则 是 的相合估计（或一致估计）。 例3 若总体 的 和 存在,则样 本均值 是总体均值的相合估计. 解： 一般地,样本的 阶原点矩 是总体 的 阶原点矩 的相合估计.由此可见,矩 估计往往是相合估计. 五、小结 估计量的评选的三个标准 无偏估计 最小方差无偏估计 相合估计 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的. 由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准. 推导过程如下: 解 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下: 设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值 例2 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%. 这个误差的可信度为95%. 解 例3 (续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布 推导过程如下: 根据定理知 II. 进一步可得: 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). (续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间. 解 代入公式得标准差的置信区间 例4 2、两个总体 的情况 讨论两个总体均值差和方差比的估计问题. I. II. 解 例5 研究由机器A和机器B生产的钢管内径, 随 机抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差为 均未知, 求方差比 区间. 设两样本相互独 抽取机器B生产的管子13只,测 得样本方差为 立,且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服 从正态分布 信 三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间. 于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量 则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间. 称为单侧置信下限. 又若统计量 满足 则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间. 称为单侧置信上限. 设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限. 例6 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下： 1050，1100，1120，1250，1280 由于方差 未知，取枢轴量 解： 的点估计取为样本均值 对给定的置信水平 ，确定分位数 使 即 于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为 将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时 的置信水平为 的单侧置信下限为 即 四、小结 点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入了区间估计. 求置信区间的一般步骤(分三步). 正态总体均值与方差的区间估计 但n充分大时近似置信区间 一、问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那一个估