西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_02_相平面法.ppt

3） 系统特征根为： ， 相轨迹方程为： 等倾线方程为： （相轨迹） 3、线性系统的相轨迹 线性二阶系统的相轨迹 可见系统的等倾线也就是系统的相轨迹，并且当 时，相轨迹收敛并停止在 轴，系统稳定；当 时，相轨迹发散至无穷远，系统不稳定； 3、线性系统的相轨迹 线性二阶系统的相轨迹 1、奇点 奇点的定义： 　　　以微分方程 表示的二阶系统， 　　　其轨迹上每一点切线的斜率 ， 若某点处的 和 同时为零，则称该 　　　点为相平面的奇点。 奇点－－平衡点： 　　　奇点一定位于横轴上，奇点处系统运动的速度和加 　　　速度同时为零，对二阶系统而言，奇点处于平衡状 　　　态。故奇点又称平衡点。 三、奇点和奇线 零输入线性二阶系统奇点 的分类： 焦点：当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为 　　　稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根 　　　时，奇点为不稳定焦点。 节点：当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特 　　　征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。 鞍点：当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为 　　　鞍点。 中心点：当特征根为一对纯虚根时，奇点为中心点。 奇点 三、奇点和奇线 奇点与系统的运动 平衡状态的个数： 　　　线性二阶系统一个平衡状态只有一个奇点。 　　　非线性二阶系统可能有多个平衡状态，因此可以 　　　有多个奇点。 奇点与相轨迹： 　　　只要确定了奇点的位置和类型，则周围附近相轨 　　　迹的形状就已确定，系统的全部运动规律也就完 　　　全清楚了。 奇点 三、奇点和奇线 奇线的概念： 　　非线性系统中特有的特殊相轨迹 　　它将整个相平面划分为具有不同运动特点的各个区域 最常见的奇线： 　极限环。这种特殊的孤立的封闭曲线，把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面，所以，极限环也是相平面上的分隔线（奇线）。 　极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统中。 奇线 三、奇点和奇线 极限环的三种类型－分类原则：极限环邻近相轨迹运动特性 稳定的极限环：周期运动稳定 　　起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷向该极限环 奇线－－极限环 三、奇点和奇线 不稳定的极限环：周期运动不稳定 　　起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷离该极限环 奇线－－极限环 极限环的三种类型 三、奇点和奇线 半稳定的极限环 　　起始于极限环内部（或外部）的相轨迹最终卷向该 　　极限环；起始于极限环外部（或内部）的相轨迹最 　　终卷离该极限环。 奇线－－极限环 极限环的三种类型 三、奇点和奇线 　　　已知系统微分方程为 ， 　　　试求系统奇点，并绘制系统的相轨迹。 解：系统相轨迹微分方程为： 令 ，则系统的奇点为： [例1] 三、奇点和奇线 为确定奇点类型，在奇点处将微分方程展开为泰勒级 数，并略去高次项： 在奇点 处有： 故有： 特征根： ，奇点为稳定焦点 同理，在奇点 处有： 　　　特征根： ，　　　　，奇点为鞍点 [例1] 三、奇点和奇线 首先绘制奇点附近的相 轨迹，再利用等倾线法 绘制其它区域的相轨迹 图中交于 的两 条相轨迹为奇线，将相 平面划为两个区域。 [例1] 三、奇点和奇线 假定相轨迹上两点 ， 的位移增量较小 设 为两点处相轨迹状态即速度变量 的平均值，则： 应用时，应尽量避免出现 的情况。 增量法 四、由相轨迹求取时间间隔 设点 　对应的时间为 ，点 对应的时间为 由于 故： 将两点间的相轨迹取倒数，如右图所示，积分求得阴影部分面积，即为 。 积分法 四、由相轨迹求取时间间隔 设圆心为 　 ，半径为 ，则对圆弧上任一点 　： 基本思想：在横轴上确定圆心和半径，用对应圆上的一 　　　　　段圆弧近似表示相轨迹上两点 和 　　　　　间的曲线，再计算系统沿该圆弧运动所需的 　　　　　时间。 圆弧法 四、由相轨迹求取时间间隔 常见的非线性特性多数可以用分段的直线来表示，或其 本身就是分段线性的。 因此，可根据非线性特性分段的特点，将相平面分成若 干区域进行研究。 这一类非线性特性曲线的折线的各转折点，构成了相平 面区域的分界线，称为开关线。 五、非线性系统的相平面分析 系统结构图如下所