第八讲二维随机变量函数的分布与数学期望.ppt

第八讲 二维变量函数分布与数学期望 2.例题讲解： 例8-6-1 设二维随机变量 ( X, Y ) 服从区域D={(x , y)| 0≤x≤1,0≤y≤x } 上的均匀分布,求:E(X), E(Y), E(XY). x y y = x 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 定理(1,2) 证明 若 X 是一连续型随机变量，则有： 若 X 是一离散型随机变量， 七、关于数学期望的定理 1.定理与公式 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 推论 证 若X与Y为离散随机变量： 定理3 若X与Y 为连续型随机变量 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 推论 定理4 定理5 设随机变量X与Y相互独立，则 证 若X与Y为离散随机变量： = E(X ) E( Y ) 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 若X与Y 为连续型随机变量 = E(X ) E( Y ) 定理6 设随机变量X1, X2,…Xn相互独立，则 2.例题讲解： 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 例8-7-1 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 * * * * 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 本次课讲授2.9—3.1 下次课讲授第三章的3.1.4—3.3。 下次上课时交作业P31—P32，P37—P38 重点：数学期望。 难点：连续变量的数学期望。 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 一、随机变量函数分布3——1.商的分布 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 的分布。 考虑 Z 的分布函数： 显然有 从而有 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 例8-1-2 解 考虑 Z 的分布函数 显然有 从而有 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 二. 二维变量的最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立，它们的分布函数分别为 (1) 最大值的分布 (最大小于号，小于都小于） (2) 最小值的分布 （最小大于号，大于都大于） 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 推广到有限多个独立随机变量的情形, 有 特别地, 若 独立同分布,设它们的分布函数为 则 解 各部件的使用寿命 的分布函数 某仪器由六个相互独立的部件 组成, 联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 服从相同的指数 求仪器使用寿命的概率密度。 分布 例8-2-1 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 先求两个串联组的寿命 的分布函数 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 再求仪器使用寿命Z 的分布函数 Z 的概率密度为 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 例题8-2-2（2008数学一，4分） 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 例8-2-3（2001数学三，8分） 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 三、离散型随机变量的数学期望（均值） 1.定义： 绝对收敛时。 称 当级数 为随机变量 的数学期望，又称均 值 设 是一离散型随机变量，其分布列为 ： 2.均值背景与说明 （1）期望源自平均值之意：例如，某班20名学生，英语成绩按照5分计，该班学生成绩分布为 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 解 3.例题讲解 例8-3-1 设随机变量 服从“0—1”分布，求数学期望 例8-3-2 设随机变量 ，求数学期望 解 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 例8-3-3 设随机变量 ，求数学期望 解 例8-3-4:几何分布 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 四. 连续型随机变量的数学期望 1.定义背景 第八讲 二维变量函数分布与数学期望 2.定义： 设 为连续型随机变量, 则 的数学期望为: 其概率密度为 [注] 假定广义积分绝对收敛, 即