二维离散型随机变量的联合分布函数.ppt

当 0 ? x 1, y ? 1 时， v=u 1 0 u v 1 当 x ? 1 0 ? y x 时， v=u 1 0 u v 1 当 x ? 1 y ? x 时， F (x,y) = 0, x 0 或 y 0 y4 , 0 ? x 1, 0 ? y x ， 2x2y2–y4, 0 ? x 1, x ? y 1 ， 2x2–x4 , 0 ? x 1, y ? 1 ， y4 , x ? 1, 0 ? y x ， 1, x ? 1, y ? x ， (4) = 0, x 0， 2x2–x4 , 0 ? x 1, 1, x ? 1 0, y 0 y4 , 0 ? y 1， 1 , y ? 1 = 　　也可以直接由联合密度求边缘密度，再积分 求边缘分布函数。例如： v=u 1 0 u v 1 作业 P 144 习题二 26 常见的连续型二维随机变量的分布 　　设区域G 是平面上的有界区域，其面积为 A ( 0)． 若二维随机变量( X ,Y )的联合密度为： 则称( X ,Y ) 服从区域G上的均匀分布． 区域G 上的均匀分布，记作U ( G )． ? G1 ? G, 设G1的面积为A1， 若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布，则 　　边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的 边缘分布仍为均匀分布． 例7　设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布，其中 求f (x,y)； 求P ( Y X 2)； 求(X ,Y ) 在平面上的落点到y 轴距离小于 0.3的概率． 解　(1) (2) y = x 1 0 x y 1 G y = x2 (3) y = x 1 0 x y 1 0.3 §2.4 随机向量及其分布 定义 设?为随机试验的样本空间， 　　则称二维向量( X , Y )为二维随机变量或二维随机向量． 二维随机变量及其分布函数 讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性； 其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性之间的关系． 二维随机变量的联合分布函数 　　定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何一对实数( x , y )，事件 定义了一个二元实 函数 F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数，即 (记为 　 ) 的概率 分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的阴影区域的概率． x y (x, y) 联合分布函数的性质 x y (x, y) x y x y x y -? 固定 x ，对任意的 y1 y2 , F (x,y1) ? F (x,y2) 固定 y ，对任意的 x1 x2 , F (x1,y) ? F (x2,y) F (x0 , y0) = F (x0 -0 , y0) F (x0 , y0) = F (x0, y0 - 0) F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0 事实上　F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a ? X b , c ? Y d) a b c d 对每个变量单调不减 对每个变量左连续 对于任意的a b , c d 例1 设 　　讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？ 解 x y x+ y = 1 ? (0,0) ? (2,0) ? (2,2) ? (0,2) 故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数． 注意　对于二维随机变量 x y a c (a,c) (a,+?) (+?,+?) (+?,c) 二维随机变量的边缘分布函数 　　由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆不真. x y x x y y 　　例2　设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 其中A , B , C 为常数． 确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X 2)． 解　(1) (2) (3) 　　可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概念推广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边缘 分布函数． 　　定义　若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的取值为