二维随机变量的函数的分布.ppt

例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。 例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设 R1, R2相互独立，它们的概率密度均为 求总电阻R=R1+R2的概率密度. 解 x z z=x z=x+10 例3 设X1, X2相互独立分别服从参数为?1, ?; ?2, ? 的?分布, 即X1, X2的概率密度分别为 试证：X1 + X2服从参数为 ?1+?2, ? 的?分布. [注] ?函数: ?分布：若随机变量X的概率密度为 ?分布的性质：若X1 ~?(?1, ?)， X2 ~?(?2, ?)，且相互独立，则 X1 + X2 ~?(?1+?2, ? ). [注] ?函数: 则称X服从参数为?, ?的?分布.记为 X~?(?, ?). 若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi 服从参数为?i , ? (i=1,2,…n)的?的分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为?1+?2+...+?n, ?的?分布. 一般结论： 当 z 0 时, 证： A 亦即Z=X1+X2服从参数为?1+?2, ?的?分布． A的计算： [注] ?函数: 若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi服从参数为?i, ? (i=1,2,…n)的?的分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为?1+?2+...+?n, ?的?分布. 一般结论： 2. Z=Y/X 的分布、 Z=XY的分布 设X,Y是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y), 则Z=Y/X 、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度 分别为 当X,Y 相互独立时, 证: y=xz y x o G1 G2 y=xz y x o (z0) G1 G2 (z0) 例3 设X和Y分别表示两个不同电子元件的寿命，且 相互独立, 服从同一分布，其概率密度为 求Z=Y/X的概率密度. 解 x z xz=1000 1000 1 被积函数的非零区域 0， 三、最大值、最小值的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函 数分别为FX(x),FY(y). 求 M=max{X,Y}及N=min{X,Y} 的分布函数. 对任意实数z, 设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为FXi(xi)，则 M=max{X1,X2,…,Xn}与N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数分别 为 推广： 特别，相互独立且具有相同的分布函数F (x)时，有 例4 设系统L由两个相互独立的子系统组成,其寿命分别为X, Y． 其概率密度分别为 其中?0,?0,???. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联（3）备用时 系统L的寿命Z的概率密度． 解 (1)串联系统：此时有 Z=min{X,Y} L2 X Y L1 并联系统： L2 X Y L1 此时有 Z=max{X, Y} 例 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其 概率密度为 若各周的需求量相互独立, 求两周需求量的概率密度. 若X是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，X和Y相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度？ 作 业 第86-89 第三章习题 18； 20； 23； 24； 28; 30; 31； 36 精品课件资料分享 SL出品 §3.4 相互独立的随机变量 一、两个随机变量相互独立的概念 二、n个随机变量相互独立的概念 它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 一、两个随机变量相互独立的概念 两事件A,B独立 指 P(AB)=P(A)P(B) 定义１ 设F(x, y), FX(x), FY(y) 分别是二维随机变量(X,Y) 联合分布函数及边缘分布函数．若对所有 x, y 有 　　　　　　　　　　　 即 则称随机变量X与Y是相互独立的. 说明 (1) 若离散型随机变量 ( X, Y ) 的分布律为 教材上称为“几乎处处成立”，含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立. (3)定理 设随机变量X与Y相互独立，令 其中 为连续函数，则U与V也相互独 立． (2)二维正态随机变量X与Y相互独立 证: 必要性 对任何 x,y 有 取 X与Y相互独立 附： 故