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维与二维连续随机变量的函数的分布.pdf

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第31卷第6期 N。V.2005…’…~ · anruhaloJts西ewofofhtuoS N报ati’on自al然itie墅sN学at版uraII ScienceEdition Southwest南Un民iv族ers大ity学fo学r 文章编号:1003·2843(2005)06-0995-03 一维与二维连续随机变量的函数的分布 张洪川,盛克敏,马丽琼 (西南交通大学峨眉校区基础课部,四川峨眉614202)。 摘要:现行“概率论与数理统计”教材中关于一维与二维随机变量函数的概率分布讲法上不够简练,在系统性上有 欠完备,试图给出一定改进及讲法更新方面的一些建议.其中心内容是对一维随机变量单调函数的概率密度函数避免 用积分表示,直接用复合函数求导方法推出;对非单调函数用划分单调区间办法给出函数概率密度的一般表达式;对 二维变量试图用二维换元法给出推算二维函数分布的统一方法. 关键词:一维随机变量;二维随机变量;函数分布;函数变换 中图分类号:G642 文献标识码:A 1 关于一维连续随机变量的函数的分布 1.1 单调函数的分布函数与概率密度 善是一维随机变量,r/=厂(善)是善的单调增加函数,则有r/的分布函数为: ‘(y)=尸{叩y}=尸{厂(善)y)=尸{孝厂‘1(y)}=Fc[f叫(y)】 (1) 若r/=/(善)是善的单调减少函数,则r/之分布函数为: ‘(y)=P{,7Y)=尸{厂(善)Y)=P{孝厂‘1(y)}=1一Fc[f叫(y)】 (2) 对(1)、(2)式求导:%(y):型攀丝:恢If~一(y)1If—t(y)】,l (3) ay 1.2非单调函数的分布函数与概率密度 E=max[f(x,),厂(薯+I)】,4=rain[f(x,),厂(薯+1)】,则有: ‘(y)=P{r/y)=P{彳(孝)y (4) 其中‘·‘项为单调增函数,乙+l-‘项为单调减函数.必须指出的是当Y骂时与Y无关,故: %(y):掣:窆终If,弋枷∥-l(删‰(力 (5) 其帆渺)=托4嚣E,Iai,Bj∽={:4蒜B. 1.3应用举例 例:已知毒~N(O,1),r/=sin告,孝∈【一等,了5,rl】,求‘(y),%(y). 与最小值分别是层=l,4=一1.当iJ,}1时,按(4)式: 收稿日期:2005-07.20 作者简介:张洪川(1938。),男,西南交通大学峨眉校区基础课部副教授 万方数据 西南民族大学学报·自然科学版 第3l卷 ‘(y)=∑喇∥(y)】+∑{1-FAf;’(y)】} i=0,±2 ,=±1 i=0,±2 J=±I m=o,±l,土2 0 Y一l .‘.E(J,)=∑①【(一1)…蚓刀+arcsiny]lY|≤1 m=O,±l。士2 1 Yl 按(5)式,当IYI≤l时,即A,YB,时, P1胁卜”‰岫川2 啪)2邑删肘(_1)arcsin,±l,±2 、/l一Y m=O:t2,±1, 、/z石I
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