第七讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布.doc

第七讲 连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). X的分布函数为 （2）指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为 其中0为常数, 则称X服从参数为的指数分布. 容易得到X的分布函数为 如X服从指数分布, 则任给s,t0, 有P{Xs+t | X s}=P{X t} (4.9)事实上 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为 其中,(0)为常数, 则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(,). 显然f(x)0, 下面来证明 令, 得到 f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=对称. 这表明对于任意h0有P{-hX}=P{X+h}.（2）.当x=时取到最大值 x离越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离越远, X落在这个区间上的概率越小。在x=处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。 X的分布函数为 特别:当=0, = 1时称X服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示, 即有 易知 (-x)=1-(x) (4.15) 人们已经编制了(x)的函数表, 可供查用(见附表2). 引理 若X~N(,), 则 证明： 由此知Z~N(0,1). 若X~N(,), 则它的分布函数F(x)可写成: 则对于任意区间(x1,x2], 有 例如, 设X~N(1,4), 查表得 设X~N(,), 由(x)的函数表还能得到:P{X}=(1)-(-1) =2(1)-1=68.26%P{X}=(2)-(-2) =95.44%P{X}=(3)-(-3) =99.74% 我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(), 但它的值落在(,)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的3法则. 例１ 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d°C, 液体的温度X(以°C计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d至少为多少? 解 (1)所求概率为 (2) 按题意需求d满足 设X~N(0,1), 若za满足条件 P{Xza}=a, 0a1, (4.18) 则称点za为标准正态分布的上a分位点.由(x)的对称性知z1-a=-za 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度 常用的几个za值： （课间休息） 随机变量的函数的分布 例１ 设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律. 解 Y所有可能值为0,1,4, 由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2, 例２ 设随机变量X具有概率密度 求变量Y=2X+8的概率密度. 解：分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 下面先来求FY(y). 将FY(y)关于y求导数, 得Y=2X+8的概率密度为 例３ 设随机变量X具有概率密度fX(x), , 求Y=X2的概率密度. 解 分别记X,Y的分布函数为FX(x), FY(y). 由于Y=X20, 故当y0时FY(y)=0. 当y0时有 将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为 例３结论的应用： 设X~N(0,1), 其概率密度为 则Y=X2的概率密度为 （5.1） 此时称Y服从自由度为1的分布. 定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), , 又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)0 (或恒有g(x)0), 则Y=g(X)是连续型随机变量, 其概率密度为 其中=min(g(),g()), =max(g(),g()), h(y)是g(x)的反函数. 证 先设g(x)0. 此时g(x)在(，)严格单调增加, 它的反函数h(y)存在, 且在()严格单调增加, 可导. 分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 因Y在()取值, 故 当时, FY(y)=P{Yy}=0; 当y时, FY(y)=P{Yy}=1. 当时, FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{Xh(y)}=FX[h(y)]. 将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度 对于g(x)0的情况同样可以证明, 有 合并(5.3),(5.4)式，命题得证。 例４ 设随机变量X~N(). 试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从