§3.1_一维连续型随机变量及其分布.ppt

§3.1 一维连续型随机变量及其分布 3.1.1 一维密度函数 定义3.1.1 设X是随机变量，如果存在一 个非负函数 使得对任意实数 有 则称X为(一维)连续型随机变量， 叫X的 概率密度函数，简称密度函数或密度. 密度函数的几何意义为： 密度函数的性质： 这两个条件是密度函数的本质.即是说， 如果一个函数满足上述两条，那么它一定是 某个随机变量的密度. 问题 (1) 密度函数一定连续吗？ (2) 对于一个给定的连续型随机变量， 其密度函数唯一吗？ (3) 连续型随机变量与离散型随机变量 的本质区别是什么? 连续型随机变量与离散型随机变量的本质 区别在于：连续型随机变量取单个值的概率 为零，也离散型不一定，这主要是由于积分 的性质.由此，便有下列的等价形式： 定理3.1.1 若随机变量X是连续型的，其 密度函数为 则对于任意集合 ,只要 在G上可积，则有 例3.1.1 设随机变量X的密度函数为 (1)求系数A； (2)计算概率 例 设随机变量X的密度函数为 求系数A. 3.1.2 一维连续型分布函数 若随机变量X的连续型的，其概率密度函 数为 ，则X的分布函数为 在计算时常用 F(x)与f(x)关系的几何意义为 连续型随机变量的分布函数的性质： 1) 2)F(x)单调不减，即当 时， 3) 4)F(x)右连续，即对任意实数 除以上几个共有性质外,由连续的特殊性,连续型随机变量的分布函数还有: 2)定理3.1.2 设随机变量X有密度函数 分布函数 则在 的连续点处有 例 设连续型随机变量X有分布函数 求常数A及概率 例3.12 一质点M在区间[3，7]上随机游 动，对每个 ，该质点落入区间 内的概率与该区间长度的平方成正比.以X表 示该质点到原点的距离. (1)求X的分布函数； (2)求X的密度函数； (3)计算概率 解 (1)由题意,对每个 于是,取 (2)由 (3)由(2.14)式知 这个概率亦可通过对密度的积分计算,即 例3.1.3 设随机变量X的密度函数为 求分布函数 例 设随机变量X的分布函数为 例 设随机变量X有密度 （1）求A； （2）概率 （3）分布函数. 例 设随机变量X的密度为 的分布函数,则对任意实数a,有( )成立. 作业 P * * * *