二维随机变量的联合分布函数定义.ppt

(2) 由图知边缘密度函数为 显然， 故 X ,Y 不独立 1 1 三、协方差和相关系数 对于二维随机变量(X ,Y )，当它们不相互独立时： 已知联合分布 边缘分布 此时表明X和Y之间存在某种联系。 问题：用一个怎样的数值去反映这种联系？ 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 称 为 X ,Y 的协方差. 记为： 称 为（X , Y ）的协方差矩阵。 协方差和相关系数的定义 定义 定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 事实上， 若 称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量 协方差和相关系数的计算公式 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例： 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解： 1 0 p q X Y P 例1 例：设 r.v.( X ,Y ) 的联合密度函数为 相关系数的性质 Y 与X 有线性关系的 概率等于1 系性质 X , Y 不相关 E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 数学期望的性质 常数 期望性质 四、期望与方差的性质 D (C) = 0 D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 性质 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 五、独立随机变量之和的分布 Z = X + Y 设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则 ? z ? z x +y= z 或 特别地，若X ,Y 相互独立，则 或 称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 例： 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为 Z = X + Y ,求 f Z (z) 解法一（图形定限法） 例2 z 1 z = x z-1 = x x 2 1 解法二 从分布函数出发 x+y = z 当z 0 时， 1 y x 1 当0 ? z 1 时， y x 1 1 x+y = z ? z ? z x+y = z 当1? z 2 时， z-1 1 y x 1 ? z ? z 1 y x 1 x+y = z 2 2 当2 ? z 时， 正态随机变量的结论 若X ,Y 相互独立, 则 若 相互独立 则 推广 THE END * 6 二维随机变量及其分布 在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上随机变量来描述. 例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 随机变量之间的联系, 就需考虑多维 随机变量及其取值规律——多维分布. 一、二维随机变量 定义： 设?为随机试验的样本空间， 则称( X , Y )为二维随机变量。 讨论： a. 二维r.v.作为一个整体的概率特性； b. 其中每一个r.v.的概率特性、与整体 概率特性之间的关系。 定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限个或无穷可列个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.。 a. 用联合概率分布来描述二维离散型 r.v. 的整体概率特性； b. 用边缘概率分布来描述整体与每个 r.v. 之间的关系。 1. 二维离散型 r.v.及其概率特性 联合概率分布 设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称 为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布，也简称为 概率分布 或 分布律。 注： y1 yj Y X ( X ,Y ) 的联合概率分布 x1 xi 二维离散型 r.v.的边缘概率分布 由联合分布可确定边缘分布,其逆不真. 1 y1 yj p?j p?1 p?j pi? p1? pi? xi x1 Y X 联合分布律 及边缘分布律 例：某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、理、 工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定 2 人 为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中