第三节-二维随机变量函数的分布.pdf

*第三节 二维随机变量函数的分布 在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全 国年龄在40 岁以上的人群，用 和 分别表示一个人的年龄和体重， 表示这个人的血压， X Y Z 并且已知 与 ， 的函数关系式 Z X Y Z g(X ,Y) , 现希望通过 的分布来确定 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函 (X ,Y) Z 数的分布问题. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z X  Y ; (ii) 和 ，其中 与 相互独立. Z max{X ,Y} Z min{X ,Y} X Y n 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 个随机变量函数的分布问题 只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 离散型随机向量的函数的分布 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 例4 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 例5 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 例7 ★ 正态随机变量的线性组合 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 例12 ★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 例14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点： 一、 离散型随机变量的函数的分布 设(X ,Y)是二维离散型随机变量, g(x,y) 是一个二元函数, 则g(X ,Y)作为(X ,Y) 的函 数是一个随机变量, 如果(X ,Y) 的概率分布为 P{X x ,Y y } p (i,j 1,2,)i j ij 设 的所有可能取值为z ,k 1,2,, 则 的概率分布为 Z g(X ,Y) k Z P{Z z } P{g(X ,Y) z } P{X x ,Y y }, k 1,2,, k k i j g(x ,y ) z i j k 二、 连续型随机变量的函数的分布 设(X ,Y)是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为f (x,y) , 令g(x,y)为一个二元函 数, 则 是 的函数. g(X ,Y) (X ,Y) 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z g(X ,Y) 的分布. a) 求分布函数F (z), Z F (z) P{Z  z} P{g(X ,Y) z} P{(X ,Y)D } f (x,y)dxdy. Z