[2018年最新整理]03第三节二维随机变量函数的分布.doc

*第三节 二维随机变量函数的分布 在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用和分别表示一个人的年龄和体重，表示这个人的血压，并且已知与，的函数关系式 , 现希望通过的分布来确定的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) ; (ii) 和，其中与相互独立. 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 离散型随机向量的函数的分布 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 例4 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 例5 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 例7 ★ 正态随机变量的线性组合 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 例12 ★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 例14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点： 一、 离散型随机变量的函数的分布 设是二维离散型随机变量, 是一个二元函数, 则作为的函数是一个随机变量, 如果的概率分布为 设的所有可能取值为, 则的概率分布为 二、 连续型随机变量的函数的分布 设是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为, 令为一个二元函数, 则是的函数. 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布. a) 求分布函数 其中, b) 求其概率密度函数, 对几乎所有的z, 有 定理1 设是具有密度函数的连续型随机向量. (1) 设是到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: (2) 假设变换和它的逆都是连续的; (3) 假设偏导数存在且连续; (4) 假设逆变换的雅可比行列式 , 即对于在变换的值域中的是不为0的. 则具有联合密度 定理2 设相互独立，且 则仍然服从正态分布，且 更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布, 即有 定理3 若且它们相互独立，则对任意不全为零的常数，有 . 三、 及的分布 设随机变量相互独立,其分布函数分别为和, 由于不大于z等价于和都不大于z, 故有 类似地, 可得的分布函数 例题选讲： 离散型随机变量的函数的分布 例1 (讲义例1) 设随机变量的概率分布如下表 Y X 0 1 2 0.2 0.15 0.1 0.3 2 0.1 0 0.1 0.05 求二维随机变量的函数Z的分布: 解 由的概率分布可得 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,0) (2,1) （2,2） -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 0 -1 -2 -2 0 2 4 与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把值相同项对应的概率值合并可得: 的概率分布为 -2 -1 0 1 2 3 4 0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05 的概率分布为 Z -2 -1 0 1 2 4 0.4 0.1 0.15 0.2 0.1 0.05 . 例2 设和相互独立, 求的分布. 解 这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之. 若 则是在次独立重复试验中事件出现的次数, 每次试验中出现的概率都为 同样, 是在次独立重复试验中事件出现的次数, 每次试验中出现的概率为故是在次独立重复试验中事件出现的次数, 每次试验中出现的概率为 于是是以为参数的二项随机变量, 即 例3 (讲义例2) 若和相互独立, 它们分别服从参数为的泊松分布, 证明服从参数为的泊松分布. 解 由离散型卷积公式得 即服从参数为的泊松分布. 连续型随机变量的函数的分布 例4 (讲义例3) 设随机变量与相互独立, 且同服从上的均匀分布, 试求的分布函数与密度函数. 解 先求的分布函数 于是的概率密度为 例5 设的密度函数为 令 试用表示和的联合密度函数. 和的分布：设和的联合密度为, 求的密度. 卷积公式: 当和独立时, 设关于的边缘密度分别为 则上述两式化为 以上两