[2018年最新整理](二维随机变量函数的分布).ppt

3.5 二维随机变量函数的分布 3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 设(X,Y)为二维离散型随机变量， 则函数 是一维离散型随机变量． 若已知(X,Y)的分布律， 如何得到 的分布律? 3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 【例3.20】设(X，Y)的分布律为 试求：Z1 = X，Z2 = Y / X，Z3 = min{X，Y}的分布律． 解：将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中 3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布, 【例3.21】设 , 且 X与Y独立，证明 ． 证： 取值为0，1，2，…， {Z = k}是互不相容事件 的和, 考虑到独立性，对任意非负整数k，有 3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布, 即证明了 例3.21的结论说明，泊松分布具有可加性 . 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)， 为X，Y的函数，它也是连续型随机变量． 求Z的概率密度的一般按下面两步进行: (1)求Z的分布函数 其中 (2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度． 解：事件X + Y ? Z所占有的区域如图， 对积分 作变量变换x = u – y得： 于是 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 对z求导数得 由X，Y的对称性，又有: 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度． 特别地，当X和Y独立时, X，Y的概率密度分别为 和 ，则上述两式可分别写成 和 这两个公式称为卷积公式，记为: 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 【例3.23】（正态分布的可加性）设X和Y都服从N(0,1)且相互独立，求Z = X + Y的概率密度． 解：由卷积公式 令 ，得 即Z～N(0，2)． 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 一般地，设X，Y相互独立，且 ， ，则 更一般地，可以证明，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．即 定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，且 C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 【例3.24】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求：随机变量Z = X + Y的概率密度． 解：因 ,欲使 ， 即使 ， x与z必须满足 即 将上述x与z的关系描绘在xO