CH二维随机变量函数的分布.ppt

已知r.v.( X ,Y )的联合分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为关于( X ,Y )的事件 §3.6 二维随机变量函数的分布 问题 方法 求 Z = g( X ,Y )的概率分布 §3.6 二维随机变量函数的分布 Ch3-6-* 离散型 一. 二维离散型 r.v.函数的分布 例3-6-1 设二维 r.v. ( X,Y )的联合分布律为 X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 Ch3-6-* 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 故 P X+Y -2 -1 0 1 2 Ch3-6-* 类似地, P X - Y -1 0 1 2 3 P X Y -2 -1 0 1 P Y /X -1 -1/2 0 1 Ch3-6-* 离散型 当( X ,Y )为离散r.v.时, Z = g( X ,Y ) Z 也离散 方法：列举法 Ch3-6-* (2) 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且X, Y独立， (1) 设 X ~ P (?1), Y ~ P (?2), 且X, Y独立， 可加性 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 则 X + Y ~ P(?1+ ?2) 结论 具有可加性的两个离散分布 Ch3-6-* X ~ P(?1), Y ~ P(?2), 则Z = X + Y的可能取值为 证明泊松分布可加性 0,1,2, ?, 故 Z ~ P(?1+ ?2) Ch3-6-* 已知 ( X ,Y )的联合密度 p(x,y) ， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度 方法 求Z 的分布函数,将其转化为 关于( X ,Y )的事件 求导, 得Z 的密度 连续型 Z= g( X ,Y ) 二. 二维连续型 r.v.函数的分布 Ch3-6-* 分布函数法 1.方法：分布函数法 Ch3-6-* 例3-6-2 已知 X ,Y 独立同分布于 N（0，1） 求 例3-6-2 的分布函数 解 Ch3-6-* x y z -z θ Ch3-6-* 练3-6-1 练习册P25六 已知 ( X ,Y ) 的联合密度为 Z = X +2 Y , 求 F Z (z) 练3-6-1 Ch3-6-* ? z/2 ? z x +2y= z x y D 解: Ch3-6-* 设( X ,Y )的联合密度函数为 p (x,y), 则 ? z ? z x +y= z 或 x y 2. 和的分布：Z = X + Y Ch3-6-* x u ? z 或 Ch3-6-* 若X ,Y 相互独立， 或 卷积公式 3.特例 Ch3-6-* 例3-6-3 已知( X ,Y ) 的联合密度为 Z = X + Y ,求 p Z (z) 解:（公式法） 例3-6-3 由公式 要使被积函数非零,须满足 即 Ch3-6-* z 1 z = x z = x+1 x 2 1 = Ch3-6-* 解法二 分布函数法 x+y = z 当z 0 时， 1 y x 1 Ch3-6-* 当0 ? z 1 时， 1 1 x+y = z ? z ? z y x Ch3-6-* x+y = z 当1? z 2 时， z-1 1 y x 1 ? z ? z Ch3-6-* 1 y x 1 x+y = z 2 2 当2 ? z 时， Ch3-6-* 练3-6-2 练习册P23三 已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为 Z = X + Y ,求 p Z (z) 解 由公式 练3-6-2 Ch3-6-* z x z = x z = 2x x = 1 2 当 z 0 或 z 2 , z z z z 当 0 ≤ z 1, 当 1 ≤ z 2, p Z (z) = 0 1 C