高等数学 第十一章 无穷级数 习题课.ppt
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第十一章 无穷级数 习题课 例题选讲 * * * *
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第十一章无穷级数(习题及解答).doc
第十一章 无穷级数
§11.1 级数的概念、性质
一、单项选择题
1. 若级数收敛(为常数)，则满足条件是( )．
； ； ； ． 答．
2. 下列结论正确的是( )．
若，则收敛；若，则收敛；
若收敛，则；若发散，则. 答．
3. 若级数与分别收敛于，则下述结论中不成立的是( )．
； ；
； ． 答.
4. 若级数收敛，其和，则下述结论成立的是( )．
收敛； 收敛；
收敛； 收敛. 答.
5. 若级数收敛，其和，则级数收敛于(
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第十章习题课 * 1.对弧长的曲线积分(第一类) 第十一章 习题课 - 1 对弧长曲线积分的计算法 2.对坐标的曲线积分(第二类) 对坐标曲线积分的计算法 3.两类曲线积分的联系 4.格林(Green)公式
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第十章习题课 * 一 曲面积分 第十一章 习题课 - 2 1.对面积的曲面积分 应用 定义 计算法 2.对坐标的曲面积分 应用 计算法 3.两类曲面积分的联系 二 高斯Guass公式,斯托克斯Stokes公式 ----高斯公式 ----斯托克斯公式 梯度 通量 旋度 环流量 散度 三 场论初步 练习题11-2 解 利用两类曲面积分之间的关系 解1 投影到xy平面计算 解2 利用高斯公式计算 解
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《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 习题课.ppt
课堂练习: 利用比值判别法 , 可知原级数发散 . 2 例3 设正项级数 例4. 若级数 奇延拓: (5) 周期的延拓 偶延拓: 二、典型例题 例1 解 根据级数收敛的必要条件， 原级数发散． 解 根据比较判别法， 原级数收敛． 解 从而有 原级数收敛； 原级数发散； 原级数也发散． 例２ 解 即原级数非绝对收敛． 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 1判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 当 故 利用比较判别法,可知原级数发散 而调和级数是发散的 , 时, 有 用比值判别法, 可判断级数 收敛， 因 n 充分大时 由 发散, 知原级数发散
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例3 将函数 高等数学 第11章 无穷级数 11.4 函数展开成幂级数 第11章 无穷级数 §11.4 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 由泰勒公式可知， 是此邻域内异于 的任意一点， 那么 可以展为： 在 点的某邻域内具有 阶导数， 如果函数 其中 是 与 之间的某个值.. 定义1 为一个区间． 使得 ， 内能展开成 则称 在区间 的幂级数． ， 若存在级数 是一个给定的函数， 设 定义２ 为 在 处的泰勒级数， 则称 的泰勒系数． 级数中的系数称为函数 (2)若 ， ， 在 内能展开成泰勒级数， 处的泰勒展开式． 为 在 并称 的某个邻域 在 内具有任意阶导数， (1)若 则称
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《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第2节常数项级数审敛法.ppt
* 例17. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . * 例17. 证明下列级数绝对收敛 : (2) 令 因此 收敛 , 绝对收敛 . * 例18. 下列级数是否绝对收敛 : * * * * * 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 部分和极限 * 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称
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《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第3节 幂级数.ppt
* * 4、在幂级数 中, n 为奇数 n 为偶数 能否确定它的收敛半径不存在 ? 答: 不能. 因为 当 时级数收敛 , 时级数发散 , 说明: 可以证明 比值判别法成立 根值判别法成立 * 第三节 幂级数 一. 函数项级数的概念 设 称 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 称 为函数 项级数的收敛点 , 所有收敛点的全体称为函数项级数的 收敛域 ; 若常数项级数 称 为函数项级数的 发散点 , 为定义在区间 I 上的函数列, 收敛, 发散 , 所有发散点的全体称为函数项级数的发散域 . * 在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数 称它为
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《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第4节 泰勒级数.ppt
* 2.阿贝尔法(构造幂级数法): (逐项积分、逐项求导) 例4 解 * * 例5 解 * （四）欧拉公式 复数项级数: * 复数项级数绝对收敛的概念 三个基本展开式 * * 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系. 欧拉公式 * 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 * 当 m = –1 时 * 1、 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 前者无此要求. 练习与思考题 * * 2、将 展开为 x 的幂级数
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《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第5节 傅立叶级数.ppt
* 例3. 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 将 则有 作奇周期延拓, * 注意: 在端点 x = 0 , ? , 级数的和为0 , 与原函数的值不同 . * 再求余弦级数. 将 则有 作偶周期延拓 , * 说明: 令 x = 0 可得 即 * 六 以2l为周期的函数的傅立叶级数 周期为 2l 函数 周期为 2? 函数 变量代换 作傅氏展开 将 的傅氏展开式 * 定理 设周期为2l 的周期函数 则它的傅立叶展开式为 ( 在 f (x) 的连续点处 ) 其中 以2l 为周期的函数的傅立叶展开 满足收敛定理条件, * 证明: 令 则由 令 则 所以
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《高等数学》电子课件（同济第六版）第十一章 习题课 2.ppt
* * 和函数的图形为 * 例12 解 * * 由上式得 * 例13 解 * * 测 验 题 * * * * * * * 测验题答案 * * 奇延拓: (5) 周期的延拓 * 偶延拓: * * 二、典型例题 例1 解 * 根据级数收敛的必要条件， 原级数发散． * 解 根据比较判别法， 原级数收敛． * 解 * 原级数收敛； 原级数发散； 原级数也发散． * 例２ 解 即原级数非绝对收敛． * 由莱布尼茨定理： * 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． * 课堂练习: 1判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 当 故 利用比较判别法,可知原级数发散 而调和级数是发散的 , 时,
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《高等数学》电子课件（同济第六版）第十一章 习题课.ppt
* * * * * * * 测验题答案 * 第十一章 习题课 * * （一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步 一、主要内容 * 曲线积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义 计算 定义 计算 联系 联系 （一）曲线积分与曲面积分 * 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) * 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 * 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲
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第十一章-无穷级数自测题-A.doc
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第十一章 无穷级数自测题 A
一、 选择题：
1．下列级数中，收敛的是( )。
A． B．
C． D．
2．下列级数中，收敛的是( )。
A． B．
C． D．
3．下列级数中，收敛的是( )。
A． B．
C． D．
4．部分和数列有界是正项级数收敛的( )。
A． 充分条件
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第十一章 无穷级数.ppt
第十一章习题课 * 典型例题 习 题 课一 主要内容 第十一章 无穷级数 1、常数项级数 级数的部分和 定义 级数的收敛与发散 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数 4.绝对收敛 定义 2、正项级数及其审
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第十一章--无穷级数.doc
第十一章 无穷级数
基本内容
?
(一)数项级数
?
1.数项级数的定义
设数列则称是数项级数，其中称为一般项．记
称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列．
若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在．
2.级数收敛的必要条件
若级数收敛，则；这意味着若 ，则必发散．
3.级数的性质
设k是非零常数，,
(1)
(2)
(3)在级数前面添（减）有限项，不改变级数的敛散性．
(4)收敛级数加括号后仍收敛．
*4.柯西收敛定理
收敛的充分必要条件是：对任意，存在N ，当nN 时，对任意的自然数p都有成立．
（二）数项级数的收敛法
1.正项级数的定义
若级数满足，则
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第十一章无穷级数第1-3节.ppt
证 记 ? 0 ? un ?vn (n=1, 2, …) ? 0 ? Sn ?Gn 例11. 判断级数 的敛散性. (0x3?) 解：由于 又 由等比级数的敛散性， 故 原级数收敛. 例12. 讨论P一级数 (p0)的敛散性. 解：当p＝1时，P一级数为调和级数 它是发散的. 当0p1时，有 由比较判别法，P一级 数此时是发散的. 当p1, 按1, 2, 22, 23, …, 2n, …项对P一级数加括号，不影响其敛散性： 而 …………………………………… 于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均 小于以 为公比的等比级数的相应项， 故此时P一级数收敛.