《高等数学》电子课件（同济第六版）第十一章 习题课.ppt

* * * * * * * 测验题答案 * 第十一章 习题课 * * （一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步 一、主要内容 * 曲线积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义 计算 定义 计算 联系 联系 （一）曲线积分与曲面积分 * 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) * 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 * 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) * 定积分 曲线积分 重积分 曲面积分 计算 计算 计算 Green公式 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系 * 积分概念的联系 定积分 二重积分 * 曲面积分 曲线积分 三重积分 曲线积分 * 计算上的联系 * 其中 * 理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 格林公式 * 3.三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 * Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 或 推广 推广 * 梯度 通量 旋度 环流量 散度 （三）场论初步 * 二、典型例题 1 计算 其中L为圆周 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 * 2 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 提示: 原式 = * 3 计算 其中?是由平面 y = z 截球面 所得截痕,从 z 轴正向看去,沿逆时针方向. 提示: 因在?上有 故 原式 = * 解 * 解 (如下图) * * 6 解 利用两类曲面积分之间的关系 * * 解 (如下图) * * * 8 设?为简单闭曲面, 为任意固定向量, 证明: 设 (分量均为常数) 则 为?的 单位外法向向量 , 试证 * 9 计算曲面积分 其中 ? 是球面 的外侧 . 解: 思考: 本题 ? 改为椭球面 时 , 应如 何计算 ? * 10 设 ? 是曲面 解: 取足够小的正数 ? ,作曲面 取下侧 使其包在?内 , 为 xoy 平面上夹于? 与 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧 , 计算 则 * 测　验　题 * * 在单连通开区域上具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 4 计算, 其中为由点到点的曲线. 5 计算, 其中为由点到点的上半圆周. 7 计算曲面积分 , 其中是由曲线绕轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与轴正向的夹角恒大于. 选择题: 设为,则的值为( ). (A)， (B) (C). 设为直线上从点到点的有向直线段,则=( ). (A)6; (B) ; (C)0. 若是上半椭圆取顺时针方向,则 的值为( ). (A)0; (B); (C). 4、设在单连通区域内有一阶连续 偏导数,则在内与路径无关的条件 是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设为球面,为其上半球面,则 ( )式正确. (A); (B); (C). 6、若为在面上方部分的曲面 , 则等于( ). (A);(B); (C). 7、若为球面的外侧,则 等于( ). (A) ; (B) 2; (C) 0 . 8、曲面积分在数值上等于( ). 向量穿过曲面的流量； 面密度为的曲面的质量； 向量穿过曲面的流量 . 9、设是球面的外侧,是面 上的圆域,下述等式正确的是( ). (A)； (B)； (C) . 10、若是空间区域的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A) =； (B) =； (C) =. 二、计算下列各题: 1、求,其中为曲线； 2、求,其中为上 半圆周,,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题: 1、求其中是界于平面 之间的圆柱面； 求， 其中为锥面的外侧； 其中为曲面的上侧 . 四、证明:在整个平面除去的负半轴及 原点的开区域内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函